徐州师范大学-江苏师范大学数学与统计学院

由参量方程所表示的曲线的斜率 [附注]

⑴结合求导举例,可介绍对数求导法,隐函数求导数。 ⑵高阶导数的莱布尼茨(Leibniz)公式可述而不证。 要点:导数、微分的求证。

第一节 导数的概念

一、导数定义 二、导函数 三、导数的几何意义

第二节 求导法则

一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式

第三节 参变量函数的导数

第四节 高阶导数 第五节 微分

一、微分的概念 二、微分的四则运算 三、高阶微分

四、微分在四则运算中应用

第六章 微分中值定理及其应用(9学时)

一、教学目标

理解微分中值定理的几何意义,掌握微分中值定理的证明,理解泰勒公式。熟练掌握函数极值、最值、凸凹性及拐点的求法,了解方程的近似解及泰勒公式在近似计算中的应用。熟练掌握罗比达法则求极限。

二、教学内容

费马(Fermat)定理 罗尔(Rolle)中值定理 △ 拉格朗日(Lagrange)中值定理

柯西中值定理

○ 泰勒(Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项)

近似计算

△ 罗比塔(L'Hospital)法则

函数单调性判别法

极值、最大值与最小值 曲线的凹凸性 拐点 函数图象讨论

要点:利用微分中值定理、泰勒公式解决一些具体问题。

第一节 拉格朗日定理及其应用

一、罗尔中值定理与拉格朗日定理 二、单调函数

第二节 柯西中值定理和不定式极限

一、柯西中值定理 二、不定式极限

第三节 泰勒公式

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 三、在近似计算上的应用

第四节 函数的极值与最大(小)值

一、极值判别 二、最大值与最小值

第五节 函数的凸性与拐点 第六节 函数图像的讨论 第七节 方程的近似解

第七章 实数的完备性(10学时)

一、教学目标

理解聚点的概念,理解掌握区间套定理、 聚点定理、有限覆盖定理及闭区间上连续函数性质的证明。了解实数完备性定理的等价性。了解上、下极限的概念。

二、教学内容

区间套定理 柯西准则(数列) △ 聚点定理

○△致密性定理(子数列定理)

有限覆盖定理

实数完备性定理的等价性 △ 闭区间上连续函数性质的证明

要点:聚点的定义及闭区间套定理的应用。

第一节 关于实数集完备性的基本定理

一、区间套定理与柯西收敛准则

二、聚点定理、有限覆盖定理

第二节 闭区间上连续函数性质的证明

第八章 不定积分(8学时)

一、教学目标

理解原函数、不定积分概念,熟练掌握计算不定积分的方法。

二、教学内容

△ 原函数与不定积分概念

基本积分表 线性运算法则 △ 换元积分法 △ 分部积分法 ○ 有理函数积分法

三角函数有理式的积分

n○ 几种无理函数的积分(R(x,[附注]

ax?b),R(x,ax2?bx?c)

cx?d连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行。 要点:不定积分的换元积分法及分部积分法。

第一节 不定积分概念与基本积分公式

一、原函数与不定积分 二、基本积分表

第二节 换元积分法与分部积分法

一、换元积分法 二、分部积分法

第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分

一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分

第九章 定积分(11学时)

一、教学目标

理解定积分的概念,掌握可积条件及可积函数类。熟练掌握定积分的性质及定积分的计算。了解上和、下和的性质及可积充要条件的证明。

二、教学内容

引入问题(曲边梯形面积与变力作功) ○ 定积分定义

定积分的几何意义 可积的必要条件 (*) 上和、下和及其性质

可积的充要条件

可积函数类——在闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数

定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理 微积分学基本定理 △ 牛顿—莱布尼兹公式 △ 换元积分法 △ 分部积分法

泰勒公式的积分型余项

要点:定积分性质的应用,积分等式、不等式的证明。

第一节 定积分的概念

一、问题提出 二、定积分的定义

第二节 牛顿—莱布尼兹公式 第三节 可积条件

一、可积的必要条件 二、可积的充要条件 三、可积函数类

第四节 定积分的性质

一、定积分的基本性质 二、积分中值定理

第五节 微积分学基本定理 定积分计算

一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法 分部积分法 三、泰勒公式的积分型余项

第十章 定积分的应用(6学时)

一、教学目标

熟练掌握利用定积分求面积、旋转体体积、弧长、旋转曲面面积、压力、引力、功。了解定积分的近似计算。

二、教学内容

简单平面图形的面积 △ 曲线的弧长与弧微分

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