9．在一水平放置的弦的x＝0处悬挂一质量为M的载荷，有一行波u(x,t)?f(t?)从x＜0的区域向悬挂点行进，求该问题的反射波和透射波． 10．平面偏振的平面光波沿x轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上，入射光波的电场
一14 一
xan1x)。n1是第一种介质的折射率，a为真空中的光速。求此问题的a?E反射光波和透射光波。（提示：在介质分界面上E连续，连续。）
?x 强度E?E0sin?(t?
习题二十
1、演奏琵琶时把弦的某一点向旁边拨开一个小距离，然后放开让其振动。设弦长为l，被拨开的点在弦长的
1处（n0为正整数），拨开的距离为h。试求解弦的横振动． n02、一长为l两端固定的弦处于静止状态。用细棒敲击弦上x0点，其冲量为I，求解弦的振动。
习题二十一
1、两端固定长为l的均匀弦，弦中张力为T0．在x?x0点施以横向力F0拉弦，稳定后放手任其振动。求解弦的振动情况．
2、两端固定的弦，用宽为2?的平面锤敲击弦上x0点，在x0??—x0??之间使弦得到一初速度v0。求解弦的振动．在本题答案中令??0，并将其与习题二十第2小题的结果进行比较．
3、两端固定长为l的均匀弦，弦中张力为T0．在同一时刻，用细棒同时敲击弦上x1点和x2点，其冲量分别为I1和I2．求解敲击后弦的振动情况．
4、一长为l的均匀杆，两端受压，从而长度缩为l(1?2?)，求解放手后杆的振动情况。 5、长为l的均匀杆，一端固定，另一端受拉力F0的作用而伸长，稳定后突然放手让其
振动。求解该杆的纵振动．
6．长为l的理想传输线，远端开路．先把传输线充电到两线间的电位差为v0，然后把近端短路，求解传输线上的电压v(x,t)．
7、长为l的均匀杆，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直，下端自由。电梯匀速下降，速度为v0，在t=0针刻电梯突然停住．求解其后的杆的振动情况．（提示：杆身竖直，杆上各点处于新的平衡位置．取此新的平衡位置为纵向位移v的坐标原点，则v的振动方程是齐次的．由于是匀速下降，此时v|t?0?0．）
8、上题若取杆水平放置时的旧平衡位置作为纵向位移u的坐标原点，则u的泛定方程是非齐次的．在上题情况下求解u(x,t)．
9．长为l的均匀细杆，静止地处于平衡位置，其一端（x＝0）固定，另一端受纵向力
一15 一
?0s?in的作用．求解它在此谐变力作用下的振动．t F(t)?F\\
10、一长为l的均匀细杆，两端保持零度，其初始温度分布为u|t?0?bx(l?x)．求杆2l上的温度变化情况．
11、长为l柱形细管，x=0端开放，x=l端封闭。管外空气中含有某种气体；其浓度为
N0．管外气体向管内扩散．求解管内该气体的浓度变化情况．
12、求解薄膜的恒定表面浓度的扩散问题。薄膜的厚度为l，杂质从两面进入薄膜．由于薄膜外面含有大量的杂质分子，而且杂质分子进人薄膜比杂质在薄膜中扩散要快得多，因此可认为薄膜表面的杂质浓度与薄膜外面的杂质浓度N0一样．求解杂质在薄膜中的扩散情况．
13．把上题改为限定源扩散问题．薄膜表层已含有一定量的杂质，在薄膜的表层，每单位表面积的杂质分子数为?0，此预先淀积在表层的杂质分子向薄膜内部扩散．求解薄膜内杂质分子浓度的变化情况．［提示：N|t?0??0?(x?0)??0?(x?l).〕
14．一长为l的均匀细杆，其初始温度为u0，两端保持温度分别为u1和u2，求杆上温度的变化情况．
15、一长为l的均匀细杆，其初始温度为u0, x＝0端温度为At度,x=l端保持为零度，求
解该杆的热传导问题．
16．一长为l的轻弹簧，上端（x＝0）固定，下端（x＝l）轻轻地挂上质量为m的物体，求解其后弹簧的纵振动．（可设a?Y?, Y相当于杨氏模量，?为单位体积弹簧的质量．弹
簧本身的重量可忽略．）
17．求解矩形区域0＜x＜a，0＜y＜b内的拉氏方程，使其满足边界条件
u|x?0?0,ux|?0?0,uy|?0?Bsinxu,y?|b? 0.a 18、求解矩形区域0＜x＜a，0＜y＜b内的拉氏方程，使其满足边界条件
?u|x?0?Ay(b?y),u|x?a?0,u|y?0?0,u|y?b?0.
19．求解带状区域0＜x＜a，0＜y＜?内的拉氏方程，使其满足条件
u|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?u0,u|y???0.
20．求解带状区域0＜x＜a，0＜y＜?内的拉氏方程，使其满足
xu|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?A(1?),u|y???0.
a 21．在圆内区域求解?u?0，使其满足边界条件u|??0?Acos?。 22．在国内区域求解?u?0，使其满足边界条件u|??0?A?Bsin?.
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23．在圆外区域求解?u?0，使其满足边界条件：①u|??a?Acos?,u|????0;②
?u|??a?Acos?,u|????u0. ?? 24、半圆形薄板，上下板面绝热，边界直径上的温度保持零度，圆周上的温度保持为u0求板上的稳定温度分布．
25、半圆形薄板，上下板面绝热，边界直径上与外界元热交换，圆周上的温度保持为
u0．求板上的稳定温度分布．
26．圆心角为900的四分之一圆的薄板，上下板面绝热，边界半径上的温度保持零度，圆周上的温度保持为u0求板上的稳定温度分布。
27．上题的圆心角改为?0，求板上的稳定温度分布．
28．在以R1，R2分别为内外半径的两同心圆所围成的环城中求解拉氏方程面?u?0，使之满足边界条件u|??R1?f1(?),u|??R2?f2(?)．
29．长为l的理想传输线，一端（x=0）接交流电源E0sin?t,另一端短路．求解线上的稳定振荡，并计算出输入阻抗．
30．长为l的传输线．一端接交流电源E0sin?t，另一接接于元件R0，L。和C。（三元件串接）．求解传输线上的稳定振荡，并讨论在什么条件下不存在反射波（此时叫做匹配）．
习题二十二 1、一长为l两端固定的弦，在弦上x0点受谐变力?f0sin?t作用而振动．求其受迫振动情况．
2、一长为l两端固定的弦在线密度F(x,t)???(x)sin?t的横向力作用下振动．求解该弦的振动情况，并讨论发生共振的条件．
3、一长为l的均匀细导线，通有电流密度为j的稳定的直流电流．设导线的电阻率为r，导线上的初始温度为u0。在两端温度保持为零度的条件下，求解导线上的温度变化． 4、在圆域?＜a内求解?u??4，使之满足边界条件u|??a?0。 5．在圆域?＜a内求解?u??xy，使之满足边界条件u|??a?0． 6、在矩形域0?x?a,?bb?y?内求解?u??2，使之满足边界条件22u|x?0,a?0;u|bby??,22?0。
bb?y?内求解?u??x2y，使之满足边界条件22 7、在矩形域0?x?a,?