18．（本小题满分16分）
如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得
AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
19．（本小题满分16分）
设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c),a,b,c?R、f'(x)为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{?3,1,3}中，求f（x）的极小值；
实 用 文 档 5
（3）若a?0,0?b?1,c?1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤
4． 2720．（本小满分16分）
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
*（1）已知等比数列{an}(n?N)满足：a2a4?a5,a3?4a2?4a4?0，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}(n?N)满足：b1?1,*122??，其中Sn为数列{bn}的前n项和． Snbnbn?1①求数列{bn}的通项公式；
*bkck?1成②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}(n?N)，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck剟立，求m的最大值．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ·参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.{1,6} 2.2 3.5 4.[?1,7] 5.
5 3 6.
7 107.y??2x
8.16 9.10 10.4 11.(e, 1)
12.3
13.
2 1014.?,?12? ???34?二、解答题
15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.
满分14分.
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解：（1）因为a?3c,b?2,cosB?2， 3a2?c2?b22(3c)2?c2?(2)21由余弦定理cosB?，得?，即c2?.
32?3c?c2ac33. 3所以c?（2）因为
sinAcosB， ?a2b由正弦定理
abcosBsinB，得，所以cosB?2sinB. ??sinAsinB2bb从而cosB?(2sinB)，即cos2B?41?cos2B，故cos2B?22??4. 5因为sinB?0，所以cosB?2sinB?0，从而cosB?25. 5因此sin?B???π?25. ?cosB??2?516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推
理论证能力.满分14分.
证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.
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（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础
知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=
553，AF2⊥x轴，所以DF2=DF12?F1F22?()2?22?， 222因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b2=a2-c2，得b2=3.
x2y2因此，椭圆C的标准方程为??1.
43（2）解法一：
x2y2由（1）知，椭圆C：??1，a=2，
43因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
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