概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
第一章 随机事件与概率
习题1.1 P9
2. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示:
A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”.
5. 设X为随机变量,其样本空间为
??{0?X?2},记事件A?{0.5?X?1}, B?{0.25?X?1.5},写出下列各事件：
（1）AB，（2）A?B，（3）AB，（4）A?B.
6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}.又设随机变量X为击中飞机的次数,试用X表示事件A,B,C,D中哪些是互不相容的事件?哪些是对立的事件?
9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”;
(3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”.
1
习题1.2 P28
3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.
11. 口袋中有10个球,分别标有号码1至10,现从中不返回地任取3个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率.
12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5.
15. 5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率.
20. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?
22. 将n个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N个盒子中,试求:
(1) 某个指定的盒子中恰好有k个球的概率; (2) 恰好有m个空盒的概率;
(3) 某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率.
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之和小于6/5”的概率.
24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?
27. 设一个质点落在xoy平面上由x轴y轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线x=1/3的左边的概率是多少?
习题1.3 P36
4. 从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: (1)A1?{三个数字中不含0和5}; (2)A2?{三个数字中不含0或5}; (3)A3?{三个数字中含0但不含5}.
2
8. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n次, 求n次所取数字的乘积能被10整除的概率.
10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
14. 某班n个战士各有1支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了1支枪, 求至少有1人拿到自己的枪的概率. 18.
设
P(A)?P(B)?1/2, 试证
,P(AB)?P(A?B)
19. 对任意的事件A, B, C, 证明: (1)P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A); (2)
P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)?P(B)?P(C)?1
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
22. 证明:
(1)P(AB)?P(A)?P(B)?1; (2)
求P(B|A?B)
13. 甲口袋有a个黑球,b个白球, 乙口袋有n个黑球,m个白球.
(1) 从甲口袋任取1个球放入乙口袋, 然后再从乙
口袋任取1个球,试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.
(2) 从甲口袋任取2个球放入乙口袋, 然后再从乙
口袋任取1个球, 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.
16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上的概率分别是40%,35%和25%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1, 试求找到钥匙的概率.
18. 有两箱零件, 第一箱装50件, 其中10件是一等品; 第二箱装30件, 其中18件是一等品, 现从两箱中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件, 试求:
3
P(A1A2?An)?P(A1)?P(A2)???P(An)?(n?1)
习题1.4 P48
4. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.4. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?
6. 设n件产品中有m件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率 .
9. 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,
概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
(1) 第一次取出的零件是一等品的概率;
(2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取
出的零件仍然是一等品的概率.
19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是0.2.
27. 设P(A)>0, 试证P(B|A)?1?
28. 若事件A与B互不相容, 且P(B)?0, 证明:
31. 设P(A)?p,P(B)?1??, 证明:
p??p ?P(A|B)?1??1??
习题1.5 P55
3. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.
5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内
(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.
4
P(B) P(A)P(A|B)?
P(A)
1?P(B)概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
6. 设A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)?1/3,I=1,2,3. 试求A1,A2,A3中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率.
8. 假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7, 在以下情况下求P(B): (1) A, B不相容; (2) A, B独立;
(3) A?B.
14. 每次射击命中率为0.2, 试求:射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
5
22. 设A,B,C三事件相互独立, 试证A-B与C独立.
23. 设0 第二章 随机变量及其分布 习题2.1 P73 2. 一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数. (1) 试求X的分布列; (2) 写出X的分布函数, 并作图. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X表示所取到的白球数. (1) 试求X的概率分布列; (2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少? 6. 设随机变量X的分布函数为 13. 设连续随机变量X的分布函数为 ?0,x?0;?F(x)??Ax2,0?x?1; ?1,x?1.?试求 (1) 系数A; (2) X落在区间(0.3,0.7)内的概率; (3) X的密度函数. 15. 设随机变量X和Y同分布,X的密度函数为 ?0,x?0;?1/4,0?x?1;??F(x)??1/3,1?x?3; ?1/2,3?x?6;???1,x?6.试求X的概率分布列及P(X<3),P(X≤3),P(X>1),P(X ≥1). 11. 如果X的密度函数为 ?x,0?x?1?p(x)??2?x,1?x?2 ?0,其他?试求P(X≤1.5). 6 ?32?x,0?x?2; p(x)??8??0,其他.已知事件A={X>a}和B={Y>a独立, 且P(A∪ B)=3/4,求常数a. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 16. 设连续随机变量X的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有 (1)F(?a)?1?F(a)?0.5?(2)P(|X|?a)?2F(a)?1; (3)P(|X|?a)?2[1?F(a)]. 习题2.2 P81 1. 设离散型随机变量X的分布列为 X -2 0 2 0.4 0.3 0.3 P 试求E(X)和E(3X+5). 5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个 ?a0p(x)dx; 盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少? 7. 对一批产品进行检查, 如查到第a件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件? 11. 设随机变量X的分布函数如下, 试求E(X). ?ex?,x?0;?2?1F(x)??,0?x?1; 2??1?1(x?1)21?e,x?1.??2 7 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为 X 10 11 12 13 0.4 0.3 0.2 0.1 P (1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数; (2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万 元. 试求工程队的平均利润; (3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间 对X独立重复观察4次,Y表示观察值大于π/3的次数,求Y2的数学期望. 习题2.3 P88 4. 设随机变量X的分布函数为 X1(单位:月)的分布为 X1 10 11 12 0.5 0.4 0.1 P 则其平均利润可增加多少? 13. 设随机变量X的概率密度函数为 ?ex?,x?0;?2?1F(x)??,0?x?1; ?2?1?1(x?1)2,x?1,?1?e2?试求Var(X). 5. 设随机变量X的密度函数为 ?1?x,?1?x?0;?p(x)??1?x,0?x?1; ?0,其他,?试求Var(3X+2). 8 x?1cos,0?x??;? p(x)??22??0,其他. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 7. 设随机变量X仅在区间[a,b]上取值,试证 a?E(X)?b,Var(X)?(b?a2). 2 9. 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有 P(X??)?E(g(X)). g(?) 11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×109至9.4×109之间的概率的下界. 9 习题2.4 P101 3. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率. 5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n与p各为多少? 7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算. 9. 已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 12. 设随机变量X的密度函数为 ?2x,0?x?1; p(x)??0,其他.?以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2} 出现的次数,试求P(Y=2). 13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备. 习题2.5 P115 3. 设K服从(1,6)上的均匀分布,求方程 10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润. 11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其密度函数为 x?1?5?e,x?0; p(x)??5?0,其他.?x2?Kx?1?0有实根的概率. 6. 设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量. 10 某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y≥1). 13. 设随机变量X的密度函数为 ??e??x,x?0;p(x)??(λ>0) ?0,x?0.试求k,使得P(X>k)=0.5. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 20. 设X~N(3,22),(1)求P(2 23. 从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10起飞,飞行时间X服从均值是4h,标准差是20min的正态分布. (1) 该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达乙地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是 多少? 24. 某单位招聘员工,共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359人,60分 11 以下有1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者最低分为多少? 30. 设随机变量X~N(μ,σ2),求E|X-μ|. 习题2.6 P123 1. 已知离散随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 P 试求Y=X2与Z=|X|的分布列. 3. 设随机变量X服从(-1,2)上的均匀分布,记 ?1,X?0; Y????1,X?0.试求Y的分布列. 7. 设随时机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布,试求Y?e2X的密度函数. 8. 设随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ Y=X2的密度函数.(2)P(Y<2). X13. 设X~N(?,?),求Y?e的数学期望与方 2 第三章 多维随机变量及其分布 习题3.1 143 2. 100件产品中有50件一等品,30件二等品,20件三等品.从中不放回地抽取5件,以X,Y分别表示取出的5件中一等品,二等品的件数,求(X,Y)的联合分布列. 5. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 差. 15. 设随机变量X的密度函数为 ?e?x,若x?0;p(x)?? ?0,若x?0.试求以下Y的密度函数 2(1) Y=2X+1; (2)Y?e; (3)Y?X. X?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4; p(x,y)???0,其他.试求 (1) 常数k; (2) P(X<1,Y<3); (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y≤. 6. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 17. 设 X~LN(?,?2)2,试 证:Y?lnX~N(?,?). 12 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ p(x,yP???ke?(3x?4y),x?0,y?0; ?0,其他.试求 (1) 常数k; (2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0 11. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为?p(x,y)???x2?xy3,0?x?1,0?y?2; ??0,其他.求P(X+Y≥1). 13. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为?p(x,y)??1?2,0?x?1,0?y?2; ??0,其他.求X与Y中至少有一个小于0.5的概率. 习题3.2 P153 4.设平面区域D由曲线及直线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D上服从均匀分布,试求X的边际密度函数. 6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 p(x,y)???6,0?x2?y?x?1;0,其他. ?试求边际密度函数pX(x)和pY(y). 12. 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X与Y的联合密度函数; (2)P(Y≤X); (3)P(X+Y≤1). 14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 13 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ ?1,|x|?y,0?y?1; p(x,y)???0,其他.试求(1)边际密度函数pX(x)和pY(y);(2)X与Y是否独立? 16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X与Y相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系? 习题3.3 P163 1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y X 0 1 2 1 0.05 0.07 0.04 2 0.15 0.11 0.07 3 0.20 0.22 0.09 3. 设随时机变量X和Y的分布列分别为 X -1 0 1 P Y 1/4 0 1/2 1 1/4 1/2 1/2 P 已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的分布列. 5. 设X和Y为两个随机变量,且 P(X?0,Y?0)?34,P(X?0)?P(Y?0)?. 77试求P(max(X,Y)?0). 6. 设X与Y的联合密度函数为 试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的分布列. 14 ?e?(x?y),x?0,y?0;p(x,y)?? ?0,其他.试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为 16. 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立,且 Xi~Exp(?i),试证: P(Xi?min(X1,X2,?,Xn))??i?1??2????n?te?t,t?0; p1(t)???0,t?0.设各周的需要量是相互独立的,试求 (1) 两周需要量的密度函数p2(x); (2) 三周需要量的密度函数p3(x). 10. 设二维随机变量(X,Y)在矩形 18. 设随机变量X与Y独立同分布,其密度函数为 ?e?x,x?0; p(x)???0,x?0.(1) 求U?X?Y与V?X/(X?Y)的联合密度 函数pU,V(u,v); (2) 以上的U与V独立吗? 15 G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1} 上服从均匀分布,试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 19. 设随机变量X与Y相互独立,且 X~Ga(?1,?),Y~Ga(?2,?).试证:U=X+Y与 C=X/Y相互独立. 习题3.4 P181 2. 求掷n颗骰子出现点数之和的数学期望与方差. 3. 从数字0,1,…,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 5. 盒中有n个不同的球,其上分别写有数字1,2,…,n.每次随机抽出一个,记下其号码,放回去再抽.直到抽到有两个不同的数字为止.求平均抽球次数. 9. 设X1,X2,?X5是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为 p(x)???2x,0?x?1; ?0,其他使求Y?max(X1,X2,?,X5)的密度函数、数学期望和方差。 12．设X,Y独立同分布，都服从标准正态分布N(0,1)，求E[max(X,Y)]. 15.一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间(10,20)上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试求此商店经销该种商品每周的平均利润。 18．把一颗筛子独立地掷n次,求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数。 16 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 22.在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定个人带的礼物都不相同。晚会期间个人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X的均值和方差。 24.设 二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 36.设随机变量X与Y都只能取两个值，试证：X与Y的独立性与不相关性是等价的。 38．设 二维随机变量(X,Y)服从单位圆内的均匀分布，其联合密度函数为 ?1,y?x,0?x?1;p(x,y)?? ?0,其他求E(X),E(Y),Cov(X,Y). 28.设X1与X2独立同分布，其共同分布为 ?12?,x?y2?1;p(x,y)??? 22??0,x?y?1试证X与Y不独立且X与Y不相关. 45．设随机变量X1,X2,?,Xn中任意两个的相关系数都是试证：???1/(n?1)。 习题3.5 P197 2. 设 二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为 N(?,?2)。试求 Y?aX1?bX2与 Z?aX1?bX2的相关系数。 17 ?3x,0?x?1,0?y?x; p(x,y)??0,其他?概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 试求条件密度函数p(yx). 4. 设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ?2122?xy,x?y?1; p(x,y)??4??0,其他.求条件概率P{Y?0.75|X?0.5}. 5. 已知随机变量Y的密度函数为 6. 设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布,在X=x的条件下,随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布,证明:XY服从参数为1的指数分布. 8. 设X与Y相互独立,分别服从参数为?1和?2的泊松分布,试求E(X|X+Y=n). 第四章 大数定律与中心极限定理 习题4.1 P208 2. 设离散随机变量X服从几何分布 P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,?. 试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(X). 18 ?5y4,0?y?1;pY(y)?? ?0,其他.在给定Y=y条件下,随机变量X的条件密度函数为 ?3x2,0?x?y?1;?p(x|y)??y3 ?0,其他.?求概率P(X>0.5). 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 8. 试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩. 11. 设连续随机变量X的密度函数如下: 13. 设X1,X2,?,Xn独立同分布,且都服从 1nN(?,?)分布,试求X??Xi的分布. ni?12p(x)?其 1???(x??)中 ??22,???x???, 参 数 习题4.2 P216 3. 设{Xn}为独立随机变量序列,且 ??0,???????,常记为X~Ch(?,?). (1) 试证X的特征函数为exp{i?t??|t|},且利用此结果证明柯西分布的可加性; (2) 当 P(X1?0)?1, P(Xn??n)?12,P(Xn?0)?1?,n?2,3,?,nn??0,??1时,记Y?X,试证?X?Y(t)??X(t)??Y(t),但是X与Y不独立. (3) 若X1,X2,?,Xn相互独立,且服从同一柯西分 布,试证: 证明{Xn}服从大数定律. 4. 在伯努利试验中,事件A出现的概率为p,令 1(X1?X2???Xn)与X1同分布. n?1,若在第n?1次试验中A出现;Xn?? 0,其他.?证明{Xn}服从大数定律. 19 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 7. 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为 10. 设{Xn}为独立的随机变量序列,证明:若诸Xn的方差?n一致有界,即存在常数c,使得 2?n?c,n?1,2,?, 2则{Xn}服从大数定律. 习题4.3 2k1P(Xn?2)?k,k?1,2,?. k2试问{Xn}是否服从大数定律? 8. 设{Xn}为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为 P224 14. 设随机变量序列{Xn}独立同分布,其密度函数 ?1/?,0?x??;为p(x)?? 0,其他.?其中常数??0,令Ynmax(X1,X2,?,Xn),试证 PYn????. P(Xnk)?c,k?2,3,?. k2?lg2k其中c?(1)?1, ?2k?2k?lgk??试问{Xn}是否服从大数定律? 20 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 15. 设随机变量序列{Xn}独立同分布,其密度函数 ?e?(x??),x??;为p(x)?? ?0,x??.???. 令Yn?min(X1,X2,?,Xn),试证: Yn? 17. 设随机变量序列{Xn}独立同分布,数学期望,方差均存在,且E(Xn)??.试证: n2Pk?Xk????. ?n(n?1)k?1P1n2PXk????2. ?nk?1 习题4.4 P237 1. 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔用户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出X的分布列; (2) 求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概 率的近似值. 18. 设随机变量序列{Xn}独立同分布,数学期望,方 2差均存在,且E(Xn)?0,Var(Xn)??. 第五章 统计量及其分布 习题5.2 P249 1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 21 试证: 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 习题5.3 P266 8. 设x1,x2,?,xn是来自U(-1,1)的样本,试求 11. 从指数总体Exp(1/?)抽取了40个样品,试求x的渐近分布. 13. 设x1,x2,?,x20是从二点分布b(1,p)抽取的样本,试求样本均值x的渐近分布. 习题5.4 E(x)和Var(x). 9. 设总体二阶矩存在, x1,x2,?,xn是样本,证明 xi?x与xj?x(i?j)的相关系数为?(n?1)?1.对 此你能够给予解释吗? 10. 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在(0.4,0.6)间的概率至少为0.9. 如何才能更精确地计算这个次数?是多少? 22 P277 2. 设x1,x2,?,xn是来自N(?,25)的样本,问n多大时才能使得P(|x??|?1)?0.95成立. 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 4. 由正态总体N(?,?)抽取容量为20的样本,试求P(10? 7．设随机变量X~F(n,n)，证明P（X＜1＿＝0.5。 9．设x1,x2是来自N(0,?)样本，试求 2第六章 参数估计 习题6.1 2 P291 2．设总体X~U(0,?)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为： 0.5 1.3 0.6 1.7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6 试对参数?给出矩估计。 5．设总体为N(?,1)，现对该总体观测n次，发现有k次观测值为正，使用频率替换方法求?的估计。 7．设总体概率函数如下，x1,?,x2是样本，试求未知参数的最大似然估计。 （1）p(x;?)?2??(xi??)2?30?2). i?120x?x22Y?(1)的分布。 x1?x2 23 ?x???1,0?x?1,??0, ,x?c,c?0已知，?＞ （2）p(x;?)??cx1。 ?(??1)概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 习题6.2 10．设总体X~Exp(1/?)，x1,x2,?,xn是样本，试证x和nx(1)都是?的无偏估计量，并比较其有效性。 P299 24．设总体X~N（?，?），x1,?,xn是来自该 总体的一个样本。试确定常数c使c?(xi?1n?1i?1?xi)2为?无偏估计。 8．设x1,x2,?,xn是来自均匀总体U(?,??1)的一个样本， （1）验证 2第七章 假设检验 习题7.1 P334 1．设x1,x2,?,xn是来自N(?,1)的样本，考虑如下假设检验问题H0:??2vsH1:??3,若检验由拒绝域为W?{x?2.6}确定。 （1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率 ??0.01，n最小应取多少？ （3）证明：当n???时，??0,??0. 24 ??x?1,???x?1,???x?n ?12(1)3(n)2n?1n?1（2）比较上述三个估计的有效性。 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 2．设x1,x2,?,x10是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下问题H0:p?0.2vsH1:p?0.4, 取拒绝域为W?{x?0.5}，求该检验犯两类错误的概率。 习题7.2 P346 1．有一批枪弹，出厂时，其初v~N(950,100)（单位：m/s）。经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m/s）如下： 914 920 910 934 953 945 912 924 940 据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（??0.05)? 25 6．从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为： 100.36 100.31 99.99 100.85 99.42 99.91 100.11 100.64 99.35 100.10 2设这批钢管内直径服从正态分布N(?,?)，试分别在下列条件下检验假设（?＝0.05）。 H0:??100vsH1:??100 （1）已知?＝0.5； （2）?未知。 概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________ 13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各反取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下： 2东支：x1?0.230,s1?0.1337 2西支：x2?0.269,s2?0.1736 21．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：?）为 A批（x）0.140 0.138 0.144 0.137 0.142 0.136 0.143 0.142 B批（y）0.135 0.140 0.138 0.140 设这两批器材的电阻值分别服从分布 N(?,?2),N(?,?2)，且两样本独立。 （1）试两个总体的方差是否相等（取?＝0.05）？ （2）试两个总体的均值是否相等（取?＝0.05）？ 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取?＝0.05）？ 26