小学四年级奥数题专题讲义:相遇问题与追击问题

行程问题之两大基本问题:相遇和追击

相遇问题(一)

相遇问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题,解答这类问题,要求大家理解和掌握下面的基本数量关系:

相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

例1 东西两地间有一条公路长217.5千米,甲车以每小时25千米的速度从东到西地,1.5小时后,乙车从西地出发,再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米?

分析:

从图中可以看出,要求乙车每小时行多少千米,关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程

所用的时间。

解:(1)甲车一共行多少小时?1.5+3=4.5(小时)

(2)甲车一共行多少千米路程?25×4.5=112.5(千米) (3)乙车一共行多少千米路程?217.5-112.5=105(千米) (4)乙车每小时行多少千米? (105-15)÷3=30(千米) 答:乙车每小时行30千米。 【边学边练】

AB两地间有一条公路长2800米,甲车从A地出发5分钟后,乙车从B地出发,又经过10分钟两车相遇。已知乙车每分钟行100米,甲车每分钟行多少米?

例2 兄妹二人同时从家里出发到学校去,家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米,妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇,妹妹走了几分钟?相遇处离学校有多少米?

分析:

从图中可以看出,哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米,两人同时出发,相向而行,哥哥每分钟行200米,妹妹每分钟行80米,经过几分钟相遇?”的问题,解答就容易了。

解:(1)从家到学校的距离的2倍:1400×2=2800(米)

(2)从出发到相遇所需的时间:2800÷(200+80)=10(分) (3)相遇处到学校的距离:1400-80×10=600(米)

答:从出发到相遇,妹妹走了10分钟,相遇处离学校有600米。

【边学边练】

妹妹从家出发到学校去,每分钟走80米,家与学校相距1400米。5分钟后,哥哥骑自行车从家出发去学校,每分钟行200米。哥哥刚到学校就立即沿原路返回,在途中与妹妹相遇。从妹妹从家出发到与哥哥相遇,妹妹共走了几分钟?

例3 两城市相距328千米,甲、乙两人骑自行车同时从两城出发,相向而行。甲每小时行28千米,乙每小时行22千米,乙在中途修车耽误1小时,然后继续行驶,与甲相遇,求出发到相遇经过多少时间?

分析:如果乙在中途不停车,那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和:328+22×1=350(千米),两车的速度和:28+22=50(千米/小时),然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7(小时)

解:(328+22×1)÷(28+22) =350÷50 =7(小时)

解法2:

(328-22×1)÷(28+22) =300÷50 =6(小时) 6+1=7(小时)

答:从出发到相遇经过了7小时。

【边学边练】

甲乙两地相距350千米,一辆汽车在早上8点从甲地出发,以每小时40千米的速度开往乙地。两小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地。几点两车在途中相遇?

例4 快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇,慢车每小时行多少千米 分析:

从图中可知:快车3小时行的路程40×3=120千米,比全程的一半多12千米,全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米,所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米,由此可以求出慢车的速度。

解:①甲乙两地路程的一半:40×3-12=108(千米) ②慢车3小时行的路程:108-12=96(千米)

③慢车的速度:96÷3=32(千米) 答:慢车每小时行32千米。

【边学边练】

AB两地相距832千米,快、慢两车同时从A、B两地相向开出,快车每小时行56千米,两车在离中点32千米处相遇,求慢车每小时的速度。

【方法总结】

解答一次相遇问题时,要弄清题意,按照题意画画线段图,借助线段图,显现隐蔽的条件,然后依据速度和、时间和路程三者之间的关系,选择解法。

相遇问题(二)

上一讲我们主要研究了一次相遇问题,本讲主要研究两次(或两次以上)相遇问题即同时相向而行到双方一次相遇后仍继续行进,然后返回到再次相遇或多次相遇。

例1 AB两城间有一条公路长240千米,甲乙两车同时从A、B两城出发,甲以每小时45千米的速度从A城到B城,乙以每小时35千米的速度从B城到A城,各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回,几小时后,两车在途中第二次相遇?相遇地点离A城多少千米? 分析:

从图上可以看出,甲乙两人第一次相遇时,行了一个全程。然后甲乙两人到达对方城市后立即以原速沿原路返回,当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时甲乙共行了多少个小时呢?可以用两城全长的3倍除以甲乙速度和就可以了。

解: (1)甲乙出发到第二次相遇时共行了多少千米?240×3=720(千米) (2)甲乙两人的速度和是多少?45+35=80(千米)

(3)甲乙两人从出发到第二次相遇共用了多少小时? 720÷80=9(小时)

(4)相遇地点离A城多少千米?35×9-240=75(千米)

答:9小时后,两车在途中第二次相遇,相遇地点离A城75千米。

【边学边练】

AB两地相距119千米,甲乙两车同时从A、B两地出发,相向而行,并连续往返于甲、乙两地。甲车每小时行42千米,乙车每小时行28千米。几小时后,两车在途中第三次相遇?相遇时甲车行了多少千米?

例2 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,又在离甲城35千米处相遇,两城相距多少千米? 分析:

从图上可以看出,小华和小明两人第一次相遇时,行了一个全程,小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时小华共行了3个85千米,如果再加上35千米,相当于小华行了2个全程,甲乙两地全长也就可以求出来了。

解:(1)甲乙出发到第二次相遇时,小华共行了多少千米? 85×3=255(千米)

(2)甲乙两城相距多少千米?( 255+35)÷2=290÷2=145(千米)

答:两城相距145千米。

【边学边练】

甲、乙两辆摩托车同时从A、B两地相对开出,两车在途中距A地80千米处第一次相遇,然后两车继续前进,甲摩托车达到B地,乙摩托车到达A地后都立刻返回,两车又在途中距B地20千米处第二次相遇,A、B两地间的路程是多少千米?

例3 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到达乙站后立即返回,货车到达甲站后也立即返回,两车再次相遇时,客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米? 分析

如图,从出发到第二次相遇时,客车和货车共行3个全程,在这段时间里客车一共比货车多行216千米,客车每小时比货车快54-48=6千米,这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时,由此可求出行一个全程时间:36÷3=12小时,因而可以求出甲乙两站的距离。

解:①从出发到第二次是两车行驶的时间:216÷(54-48)=36(小时)

②从出发到第一次相遇所用的时间:36÷3=12(小时) ③甲乙两站的距离:(54+48)×12=1224(千米) 答:求甲乙两站相距1224千米。

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