1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导 1.2.1 1.
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集. 疑难疏引 函数概念的正确理解：
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，
2
与f(x)＝x是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径. 函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.
（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定. 2.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.
疑难疏引 核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数. 3
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］. （2）满足不等式a （3）满足不等式a≤x 疑难疏引 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义. 对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法. ●案例1 ( ) A. f（x）＝x，g（x）＝2nx2n B. f（n）＝2n＋1（n∈Z），g（n）＝2n－1（n∈ZC. f（x）＝x－2，g（t）＝t－2 1?x2 D. f（x）＝，g（x）＝1＋x 1?x 【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.C符合. 【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数. 若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数. 4.函数的定义域 函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围. 2 疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x(x 20 ∈R)与y=x(x>0)；y=1与y=x. (2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围. (3)常见函数定义域类型及求解策略： 如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合： ①解析式是整式的函数，其定义域为R； ②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合； ③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合. 复合函数f［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围. 如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合. ●案例2 已知函数y=mx2?6mx?m?8的定义域为R，求实数m的取值范围. 【探究】 首先向不等式转化，在求m的取值范围时，由于m为二次项系数，∴要对其进行 2 分类讨论；当x∈R时,mx-6mx+m+8≥0恒成立. 当m=0时,x∈R. ?m?0,?m?0当m≠0时，?即? 2??0,(?6m)?4m(m?8)?0??解之，得0 【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用 2 数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x项问题中要对其系数进行讨论. 5.函数的 （1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样. （2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”. （3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值. ●案例3 ?x2,x?0?已知函数f（x）=?1,x?0根据已知条件分别求出f（1），f（－3），f［f（－3）］，f｛f ?0,x?0?［f（－3）］｝的值. 【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系. 2 答案：f（1）=1=1；f（－3）=0；f［f（－3）］=f（0）=1；f｛f［f（－3）］｝=f［f（0）］ 2 =f（1）=1=1. 【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点． ●案例4 2 已知函数f（x+1）=x－1，x∈［－1，3］，求f（x）的表达式. 2 【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f（x+1）=x－1，即知道了x+1被法则“处理” 22 的结果是x－1，如果知道x－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f（x）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”. 22 解法一：（配凑法）∵f（x+1）=x－1=（x+1）－2（x+1）， 2 ∴f（x）=x－2x. 2 又当x∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f（x）=x－2x，x∈［0，4］. 解法二：（换元法）令x+1=t，则x=t－1，且由x∈［－1，3］知t∈［0，4］， 222 ∴由f（x+1）=x－1，得f（t）=（t－1）－1=t－2t，t∈［0，4］. 22 ∴f（x）=（x－1）－1=x－2x，x∈［0，4］. 【溯源】 已知函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法. 所谓“配凑法”即把已知的f［g（x）］配凑成关于g（x）的表达式，而后将g（x）全用x取代，化简得要求的f（x）的表达式； 所谓“换元法”即令已知的f［g（x）］中的g（x）=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g（x）］，化简成最简式. 需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f（x）的表达式后，都需要指出其定义域，而f（x）的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g（x）］中g（x）的范围一致，所以说求f（x）的定义域就是求函数g（x）的值域. ●案例5 已知二次函数f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），求f（x）的表达式. 2 【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f（x）=ax+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）；交点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a∈R且a≠0），其中x1、x2分别是f（x） 2 的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f（x）=a（x－m）+n（a∈R且a≠0），（m，n）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f（x），具体解法如下. 解法一：（待定系数法）由题意可设f（x）=ax+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）. ∵f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0）， 2 1?a??5?a?b?c?1?8??∴?4a?2b?c?0解得?b?? 5?36a?6b?c?0??12?c??5?∴f（x）= 12812x－x+. 555解法二：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象与 x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f（x）=a（x－2）（x－6），a∈R且a≠0.∵f（x） 1. 5112812∴f（x）=（x－2）（x－6），即f（x）=x－x+. 5555的图象过点A（1，1），∴1=a（1－2）（1－6）.解得a= 解法三：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象关于直线x= 2?62 ，即x=4对称.∴可设f（x）=a（x－4）+m，其中a、m∈R且a≠0.又f（x）22??1?a(1?4)?m的图象过点A（1，1）、B（2，0），∴? 2??0?a(2?4)?m1?a???m?9a?1?5∴?解得? 4m?4a?0??m???5?∴f（x）= 14128122 （x－4）－，即f（x）=x－x+. 55555k，k为待定系数. x【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f（x）=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f（x）= 6．函数的值域 基本函数的值域： （1）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R. （2）反比例函数y= 2 k(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞). x（3）二次函数y=ax+bx+c(a≠0). 4ac?b2当a>0时,值域为［,+∞); 4a4ac?b2当a<0时,值域为(-∞,］. 4a