2012年中考真题三角形四边形与二次函数的应用

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三角形四边形存在性问题

1. (2012海南省I13分)如图,顶点为P(4,-4)的二次函数图象经过原点(0,0),点

A在该图象上,

OA交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON (1)求该二次函数的关系式.

(2)若点A的坐标是(6,-3),求△ANO的面积.

(3)当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题: ①证明:∠ANM=∠ONM

②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标,如果不能,请说明

理由.

【答案】解:(1)∵二次函数图象的顶点为P(4,-4),∴设二次函数的关系式为

y=a?x?4??4。

又∵二次函数图象经过原点(0,0),∴0=a?0?4??4,解得a=。 ∴二次函数的关系式为y=221411?x?4?2?4,即y=x2?2x。 441。 2 (2)设直线OA的解析式为y=kx,将A(6,-3)代入得?3=6k,解得k=? ∴直线OA的解析式为y=-x。

把x=4代入y=?x得y=?2。∴M(4,-2)。 又∵点M、N关于点P对称,∴N(4,-6),MN=4。 ∴S?ANO?12121?6?4?12。 2 (3)①证明:过点A作AH⊥l于点H,,l与x轴交于点D。则

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设A(x0, x02?2x0),

1412x0?2x0?1?4则直线OA的解析式为y=x=?x0?2?x。

x0?4? x0?8) ?x0)则M(4,,N(4,,H(4,。 x02?2x0)

∴OD=4,ND=x0,HA=x0?4,NH=x02?x0。 ∴

1414tan?ONM=4?x?4?4?x0?4?4OD4HAx0?4?, tan?ANM===20??。 NDx0NH1x2?xx0?4x0+64x0?x0?4?x0004∴tan?ONM=tan?ANM。∴∠ANM=∠ONM。 ②能。理由如下:分三种情况讨论:

情况1,若∠ONA是直角,由①,得∠ANM=∠ONM=45, ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH,即x0?4=x02?x0。

0

14x0=4。 整理,得x02?8x0+16=0,解得 ∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。

OA2+ON2=AN2。情况2,若∠AON是直角,则 ∵

2?1?1?? OA=x0+?x02?2x0?,ON2=42+x02,AN2=?x0?4?+?x02?2x0+x0? ,

?4??4?222?1?1??x0+?x02?2x0?+42+x02=?x0?4?+?x02?2x0+x0?。 ∴ ?4??4?22222整理,得x03?8x02?16x0=0,解得x0=0, x0=4?42。 舍去x0=0, 。 x0=4?42(在l左侧)

y0=4。 当 x0=4+42时, 4+42, 4)∴此时存在点A( ,使∠AON是直角。

情况3,若∠NAO是直角,则△AMN∽△DMO∽△DON,∴

MDOD。 ?ODND学大教育济南分公司质控

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∵OD=4,MD=8?x0,ND=x0,∴

8?x04?。 4x0整理,得x02?8x0+16=0,解得 x0=4。

∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。 综上所述,当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,存在点A

( ,使∠AON是直角,即△ANO为直角三角形。 4+42, 4)

2. (2012山西省14分)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;

(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.

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【答案】解:(1)当y=0时,﹣x+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3。

∵点A在点B的左侧,∴A.B的坐标分别为(﹣1,0),(3,0)。

当x=0时,y=3。∴C点的坐标为(0,3)。 设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),则

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?b1=3?k1=3,解得。 ??b=3?k+b=0?1?11∴直线AC的解析式为y=3x+3。

∵y=﹣x+2x+3=﹣(x﹣1)+4,∴顶点D的坐标为(1,4)。 (2)抛物线上有三个这样的点Q。如图,

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①当点Q在Q1位置时,Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q1的坐标为(2,

3);

②当点Q在点Q2位置时,点Q2的纵坐标为﹣3,代入抛物线可得点Q2坐标

为(1+7,﹣3);

③当点Q在Q3位置时,点Q3的纵坐标为﹣3,代入抛物线解析式可得,点

Q3的坐标为(1﹣7,﹣3)。

综上可得满足题意的点Q有三个,分别为:Q1(2,3),Q2(1+7,﹣3),Q3(1

﹣7,﹣3)。

(3)点B作BB′⊥AC于点F,使B′F=BF,则B′为点B关于直线AC 的对称点.连接B′D交直线AC与点M,则点M为所求。

过点B′作B′E⊥x轴于点E。

∵∠1和∠2都是∠3的余角,∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴

COCA。 =BFAB由A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)得OA=1,OB=3,OC=3, ∴AC=10,AB=4。

1210310610=,解得BF=。∴BB′=2BF=,

5BF45AOCOCA由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB,∴。 ==B?EBEBB?∴∴

131012363621==。∴B′E=,BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=. B?EBE121055555∴B′点的坐标为(﹣

2112,)。 55设直线B′D的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),则

4?k=?k2+b2=42???13。 ?2112,解得?48?k+b=22??b=5?52?13?∴直线B'D的解析式为:y=448x+。 1313联立B'D与AC的直线解析式可得:

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