习题一
1. 解 (1) 设学生数为n，则
??{0/n,1/n,2/n,?,100n/n}
(2) 枚骰子点数之和为 ??{3,4,5,?,18}
(3) 三只求放入三只不同A，B，C盒子，每只盒子中有一个球的情况有 ??{(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,,c,a),(c,b,a),(c,a,b)}
其中(a,b,c)表示A盒子放入的球为a，B盒子放入的球为b，C盒子放入的球为c，其余类似．
(4) 三只求放入三只不同A，B，C盒子情况有
??{(abc,0,0),(0,abc,0),(0,0,abc),(ab,c,0),?,(c,a,b)}
其中(0,abc,0)表示A盒子没有放入球，B盒子放入的球为a,b,c，C盒子没有放入球，其余类似，共|?|?33?27个样本点．
(5) 汽车通过某一定点的速度设为v ??{v|v?0}．
(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为x,y,z
??{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}．
(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的 结果为
??{(0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,1,0,1)}
其中(0,1,0,0)表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似．
2. 解 (1) 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的号码为1的样本点有
A?{(123),(134),(135)}
其中(123)表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)． (2) 抛一枚硬币两次，
其中(10)表示第一次掷出正面，得A=“第一次出现正面”的样本点有A?{(10),(11)}，
如此为反面，其余类似．
B=“两次出现不同的面”的样本点有B?{(10),(01)}，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．
C=“至少出现一次正面”的样本点有C?{(10),(0,1),(11)}，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．
(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为t不小于500小时，
A=“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有A?{t|t?500}．
(4) 某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10， A=“某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10”的样本点有A?{n|n?0,1,2,?,10}．
(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， A=“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有A?{(0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,0,0,1),?}，其中(0,1)表示第一次出现反面，第二次出现正面．
3. 解 (1) ABC?AB?C;
(2) A?B?C;
1
(3) AB?AC?BC; (4) AB?AC?BC; (5) ABC?ABC?ABC; (6) ABC?ABC?ABC.
4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；
(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的； (3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书； (4) 是．
5. 解 包含事件A,B的最小事件域是
F?{?,?,A,B,A,B,A?B,A?B,AB,AB,A?B,A?B,AB?AB,A?B?A?B}
6. 证明 (1) 对任意的??A,即??A,，等价于??A，即A?A；
对任意的??A即??A,，等价于??A，即A?A； 即 A?A．
(2) 对任意的??A?B,即??A,??B,，等价于??A?B，即A?B?A?B； 对任意的??A?B即??A,??B,，等价于??A?B，即A?B?A?B； ?B即 A?B?A．
(3) 由于C?B，所以AC?AB??，所以AC??．
?0?(4) 对任意的???An,即存在n0,??An，等价于??An0，即：???An，
n?1??nn?1即
?An?1,???An?1n；
?0?对任意的???An即???An存在n0,??An0，等价于??An，即：???An，
n?1n?1n?1??n即 即
?An?1?n??An?1?nn；
?An?1??An?1．
(5) 与(4)证明相似．
(6) 显然A?B,B?A,AB互不相容 显然A?B?B?A?AB?A?B；
对任意的??A?B,即??A或者??B,，分为(a)??AB，显然成立；(b)??A?B, 显然成立；(c) ??B?A,显然成立.
k?17. 解 (1) 设 Bk?Ak?(?Ai),k?1,2,?,n，其中A0??，显然Bk,k?1,2,?,n互不
i?1相容．
(2) 两个事件互不相容是指AB??,，而相互对立是指AB??,A?B??，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容．
2
nn000(3) 对任意的???Bk,即存在k0,??Bk?Ak?Akk?1?1?Ak0?An，所以?Bk?An；
k?1n反之对任意的??An即存在k0,??Ak?An,，且??Ak?Ak000?1?Bk0所以?Bk?An；
k?1n即?Bk?An．
k?1对于无穷的形式类似可得．
8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为A，
(1) 放回抽样
?中的元素个数为n??11，A中的元素个数为nA?6?5?6，所以
3P(A)?nAn??6?5?6113?0.1352 ；
(2) 不放回抽样
?中的元素个数为n??A11，A中的元素个数为nA?6?5?6，所以
3P(A)?nAn??6?5?5A113?0.1515 ．
9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起A，
?中的元素个数为n??A10，A中的元素个数为nA?3!A8，所以
31P(A)?nAn??3!A8A1031?115
10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为A，
?中的元素个数为n??C20，A中的元素个数为nA?C18C2，所以
1091P(A)?nAn??C18C2C201091?1019．
11. 解 设四张A全部集中在一个人手中为A，
?中的元素个数为n??C52，A中的元素个数为nA?C48C4，所以
1391P(A)?nAn??C48C4C135291?0.0106．
12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为A，
?中的元素个数为n??C12，A中的元素个数为nA?C6?2?3，所以
432P(A)?nAn??C6?2?3C12432?1633．
13. 解 设这n个人任何两个人的生日都不在同一天为A
nnn(1) ?中的元素个数为n??365，A中的元素个数为nA?C365?n!?A365，所以
P(A)?nAn??A365365nn ；
(2) n?30时
3
P(A)?nAn??A365365nn?(1?1365)(1?2365)?(1?29365)?e?30?29365?2?0.3037
14. 解 (1) 设选出的号码为严格上升为A，
?中的元素个数为n??N，A中的元素个数为nA?CN，所以
nnP(A)?nAn??CNNnn ；
(2) 设选出的号码为单调升为A，
?中的元素个数为n??N，A中的元素个数为nA?CN?n?1，所以
nnP(A)?nAn??CN?n?1Nnn ．
15. 证明 原式等价于
nn(N?n)n(N?n)(N?n?1)n(N?n)(N?n?1)?2?1??????1 NN(N?1)N(N?1)(N?2)N(N?1)(N?2)?(n?1)n构造概率模型： 一口袋中中有n个红球，N?n个黑球，Ak为第k次首次抽到红球，
nn则P(?Ak)?k?1?P(Ak?1k)?1
其中 P(Ak)?即nN?n(N?n)N(?n?1?)N(?n?k?N(N?1)(N?2)?(N?k?2)n?n(N?n)(N?n?1)N(N?1)(N?2)???
2)n(N?n)N(N?1)n(N?n)(N?n?1)?2?1N(N?1)(N?2)?(n?1)n?1
16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的．
正确解法为 设为点数和为6为A，(m,n)为第一枚骰子出现点数为m，第二枚骰子点数为n，则
??{(m,n)|m,n?1,2,?,6}，A?{(m,n)|m?n?6} ?中的元素个数为n??36，A中的元素个数为nA?5，所以
P(A)?nAn??536 ．
17. 解 设平行弦距圆心的距离为x，设弦长度大于R为A，则
??{x|0?x?R}，A?{x|0?x?32R}
3P(A)?LAL??2RR?32．
18. 解 设正常信号到达时间为为x，干扰信号到达时间为y，设系统受到干扰为A，则
??{(x,y)|0?x,y?60}，
A?{(x,y)|0?x?y?x?10?60或0?y?x?y?5?60}
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