第一章 基本概念
§1.1 集 合
1.指出下列各命题的真假.
(1)1?{1}; (2)1?{1}; (3)1?{1}; (4){1}?{1}; (5){1}?{1}; (6){1}?{1,{1}}; (7)??{1}; (8)??{1}; (9)??{1}; (10)???; (11)???; (12)???. 解 命题(1),(5),(6),(8),(9)和(11)为真命题,其余都是假命题.
2.设U?{a,b,c,d,e,f,g,h},M?{a,c,e,h},N?{a,d,e,f,g},求M?N,
M?N,M\\N,N\\M,M'?N',M'?N'.
解 M?N?{a,c,d,e,f,g,h};M?N?{a,e};M\\N?{c,h};
N\\M?{d,f,g}; M'?N'?{b,c,d,f,g,h};M'?N'?{b}.
3.设A,B是两个集合,若A?B?A?B,证明:A?B.
证明 假设A?B?A?B.则A?A?B?A?B?B?A?B?A?B?A.因此
A?B.
4.设A,B,C是三个集合,若A?B?A?C,A?B?A?C,证明:B?C.
证明 考察任意的x?B:若x?A,则由A?B?A?C可知x?C;若x?A,则由
A?B?A?C可知x?C.由此可见,B?C.同理可证,C?B.所以B?C.
5.证明下列三命题等价:
(1)A?B;(2)A?B?A;(3)A?B?B. 证明 我们有
A?B?A?A?A?A?B?A?A?B
?A?B?(A?B)?B?B?A?B?B ?A?B.
所以命题(1),(2)和(3)两两等价.
6.设A,B,C是三个集合,证明:
(1)A\\B?A\\(A?B); (2)A\\(A\\B)?A?B;
(3)A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C); (4)A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C); (5)A?(B\\C)?(A?B)\\(A?C); (6)(A\\B)?(B\\A)?(A?B)\\(A?B). 证明 (1)对于任意的元素x,我们有
x?A\\B?x?A且x?B?x?A且x?A?B?x?A\\(A?B).
所以A\\B?A\\(A?B)
(2)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(A\\B)?x?A且x?A\\B?x?A且x?B?x?A?B.
1
所以A\\(A\\B)?A?B.
(3)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(B?C)?x?A,x?B,x?C
?x?A\\B且x?A\\C?x?(A\\B)?(A\\C).
所以A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C).
(4)对于任意的元素x,我们有
x?A\\(B?C)?x?A,x?B或x?C
?x?A\\B或x?A\\C?x?(A\\B)?(A\\C)
所以A\\(B?C)?(A\\B)?(A\\C).
(5)对于任意的元素x,我们有
x?A?(B\\C)?x?A,x?B,x?C
?x?A?B,x?A?C?x?(A?B)\\(A?C).
所以A?(B\\C)?(A?B)\\(A?C).
(6)对于任意的元素x,我们有
x?(A\\B)?(B\\A)?x?A且x?B,或者,x?B且x?A ?x?A?B且x?A?B?x?(A?B)\\(A?B).
所以(A\\B)?(B\\A)?(A?B)\\(A?B).
7.设A?{x|x2?2x?3?0},写出A的幂集2A. 解 显然A?{?1,3}.所以2A?{?,{?1},{3},A}.
8.设A是包含n个元素的有限集,求A的幂集2A所包含元素个数.
k解 对于任意的k?{0,1,?,n},A的由k个元素组成的子集共有Cn个.所以A的幂k?2n. 集2A所包含元素个数为?k?0Cnn
§1.2 映 射
1. 设m是一个正整数,?n?Z,作带余除法:
n?mq?r,0?r?m.
规定
f:n?r,
问:f是否为Z到Z的映射?单射?满射?
答 显然f是Z到Z的映射.由于f(m)?f(2m)?0,因此f不是单射.由于
f(n)?m,?n?Z,因此不是满射.
2.(1)设f是A到的B单射,g是B到C的单射,证明:g?f是A到C的单射. (2)设f是A到的B满射,g是B到C的满射,证明:g?f是A到C的满射.
2
证明 (1)假设x,y?A且x?y.由于f是A到的B单射,因此f(x),f(y)?B且
f(x)?f(y).由于g是B到C的单射,因此g(f(x)),g(f(y))?C且g(f(x))?g(f(y)),即(g?f)(x)?(g?f)(y).由此可见,g?f是A到C的单射.
(2)任意给定z?C.由于g是B到C的满射,因此我们可取y?B,使得g(y)?z.由于f是A到B的满射,因此我们可取x?A,使得f(x)?y.于是,
(g?f)(x)?g(f(x))?g(y)?z.
由此可见,g?f是A到C的满射.
3.设A?{1,2,3},B?{a,b,c},问: (1)有多少个A到B的映射?
(2)有多少个A到B的单射?满射?双射?
解 (1)令F表示A到B的所有映射组成的集合,P表示a,b,c这三个元素的所有有重复和无重复的排列组成的集合.对于任意的f?F,令φ(f)?f(1)f(2)f(3).显然φ是F到P的双射,并且|P|?33?27.所以|F|?27.也就是说,A到B的不同映射共有
27个.
(2)设F,P,φ如(1)中所说.显然,对于任意的f?F,f是单射(满射)当且仅当
φ(f)?f(1)f(2)f(3)是a,b,c这三个元素的一个无重复的排列.由于a,b,c这三个元素的
无重复的排列共有6个,所以A到B的不同单射(满射)共有6个.
4.设给出三个Z到Z的映射:
f:x?2x;g:x?2x?1;
?x?2,当x为偶数时, h:x??
x?1?,当x为奇数时.?2(1)计算:f?g,g?f,h?f,h?g,f?h,g?h; (2)证明:f,g是单射,并分别求出f,g的一个左逆映射; (3)证明:h是满射,并求出h的一个右逆映射. 解 (1)对于任意的x?Z,
(f?g)(x)?f(g(x))?2(2x?1)?4x?2; (g?f)(x)?g(f(x))?2(2x)?1?4x?1; (h?f)(x)?h(f(x))?x;
(h?g)(x)?h(g(x))?x;
?x,当x为偶数时,(f?h)(x)?f(h(x))??
x?1,当x为奇数时;??x?1,当x为偶数时,(g?h)(x)?g(h(x))??
x,当x为奇数时.?(2)?x,y?Z,若2x?f(x)?f(y)?2y,则x?y;若2x?1?g(x)?g(y)?2y?1;则
3
x?y.所以f和g都是单射.由(1)可知,h既是f的一个左逆映射,又是g的一个左逆映
射.
(3)?x?Z,我们有h(2x)?x.所以h是满射.由(1)可知,f和g都是h的右逆映射. 5.设f是A到的B映射,g是B到的C映射. (1)若g?f有左逆映射,问f,g是否都有左逆映射? (2)若g?f有右逆映射,问f,g是否都有右逆映射?
解 (1)若g?f有左逆映射h,则(h?g)?f?h?(g?f)?IA,从而,h?g是f的左逆映射.但是g未必有左逆映射.例如,令A?B?C?N,定义A到的B映射f和B到的
C映射g如下:
?1,当x?1时, f:x??;?x?1,当x?1时?1,当x?1时, g:x??x?1,当x?1时.?则g?f?IN有左逆映射;g不是单射,从而,g没有左逆映射.
(2)若g?f有右逆映射h,则g?(f?h)?(g?f)?h?IC,从而,f?h是g的右逆映射.但是f未必有右逆映射.例如,在上例中,g?f?IN有右逆映射,f不是满射,从而,f没有右逆映射.
6.设A,B都是有限集,且|A|?|B|.又f:A?B是一个映射,证明:
f是单射?f是满射.
证明 由于f是A到B的映射,因此Imf?B.
当f是单射时,f是A到Imf的双射,从而,|Imf|?|A|?|B|.这样,由Imf?B可知Imf?B.所以f是满射.
当f是满射时,对于每一个y?B,任意定一个元素x?A,使得f(x)?y,并令
g(y)?x.于是,g是B到A的单射.由于|A|?|B|,因此g是双射.又因f?g?IB,所以f是双射,从而,f是单射.
§1.3 卡氏积与代数运算
1.设A?{1,2,3,4},问下列各命题是否正确?
(1)A?{1}?A; (2)A?A?A; (3)??A?A; (4)|A|?|{1}?A|; (5)|A|?|A?A|; (6)|A|2?|A?A|. 答 命题(3),(4)和(6)都正确;其余命题都不正确.
“?”2.判断下列法则是否为有理数域Q上的代数运算:
4