2010届高三数学一轮复习精品教案――不等式(附高考预测)

例5、(2008江西文)不等式2解:原不等式变为2x2?2x?4x2?2x?4?1的解集为 . 2?2?1,由指数函数的增减性,得:

x2?2x?4??1?(x?3)(x?1)?0?x?[?3,1],所以填:[?3,1]。

点评:不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容,应加强训练。

例6、已知集合A?x|x2?5x?4≤0,B?x|x2?2ax?a?2≤0,若B?A,求实数

????a的取值范围.

解:A?x|x2?5x?4≤0??x|1≤x≤4?.

设f(x)?x2?2ax?a?2,它的图象是一条开口向上的抛物线. (1)若B??,满足条件,此时??0,即4a2?4(a?2)?0, 解得?1?a?2;

(2)若B??,设抛物线与x轴交点的横坐标为x1,x2,

且x1≤x2,欲使B?A,应有?x|x1≤x≤x2???x|1≤x≤4?, ?f(1)≥0,?f(4)≥0,??结合二次函数的图象,得? ?2a1≤?≤4,?2????≥0,?1?2a?a?2≥0,?218?4?8a?a?2≥0,即? 解得2≤a≤.

7?1≤a≤4,?4a2?4(a?2)≥0,??18?综上可知a的取值范围是??1,?.

7????

点评:本题是一元二次不等式与集合结合的综合题,考查含参数一元二次不等式的解法,注意分类讨论思想的应用,分类时做到不遗漏。

考点三:简单的线性规划

【内容解读】了解二元一次不等式(组)表示的平面区域和线性规划的意义;了解线性

约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题,以提高解决实际问题的能力.

生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题.在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样安排,能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.

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【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现,题型以容易题、中档题为主,考查平面区域的面积、最优解的问题;随着课改的深入,近年来,以解答题的形式来考查的试题也时有出现,考查学生解决实际问题的能力。

?x?0?例7、(2008安徽文)若A为不等式组?y?0表示的平面区域,则当a从-2连续变

?y?x?2?化到1时,动直线x?y?a 扫过A中的那部分区域的面积为 ( )A.

3 4B.1 C.

7 D.5 4解:如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。 (阴影部分面积比1大,比S?OAB?来)

点评:给出不等式组,画出平面区域,求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一,如果区域是不规节图形,将它分割成规节图形分别求它的面积即可。

1?2?2?2小,故选C,不需要算出2?2x?y?40,?x?2y?50,?例8、(2008广东理)若变量x,y满足?,则z=3x+2y的最大值是 ( )

?x?0,??y?0, A.90 B. 80 C. 70 D. 40

解:做出可行域如图所示.目标函数化为:y=-令z=0,画y=-

3zx?,223x,及其平行线,如右图,当它经过两2直线的交点时,取得取大值。 解方程组??2x?y?40?x?10,得?.

x?2y?50y?20??所以zmax?3?10?2?20?70,故答C.

点评:求最优解,画出可行域,将目标函数化为斜截式,再令z=0,画它的平行线,看

y轴上的截距的最值,就是最优解。

例9、(2007山东)本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,

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?x?y≤300,?由题意得?500x?200y≤90000,

?x≥0,y≥0.?

目标函数为z?3000x?2000y.

y 500 400

?x?y≤300,?二元一次不等式组等价于?5x?2y≤900,

?x≥0,y≥0.?作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:

作直线l:3000x?2000y?0,

300 l

200 100 M

0 100 200 300 x 即3x?2y?0.

平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值. 联立??x?y?300,解得x?100,y?200.

5x?2y?900.?

200). ?点M的坐标为(100,?zmax?3000x?2000y?700000(元)

答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最

大收益是70万元.

点评:用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一。

考点四:基本不等关系

【内容解读】了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最值问题,理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。

利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题:

(1)当a,b都为正数,且ab为定值时,有a?b≥2ab(定值),当且仅当a?b时,等号成立,此时a?b有最小值;

(a?b)2(2)当a,b都为正数,且a?b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a?b时,

4等号成立,此时ab有最大值.

创设基本不等式使用的条件,合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧,而拆与凑的过程中,一要考虑定理使用的条件(两数都为正);二要考虑必须使和或积为定值;三要考虑等号成立的条件(当且仅当a=b时,等号成立),它具有一定的灵活性和变形技巧,高考中常

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被设计为一个难点.

【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法,单纯不等式的命题,主要出现在选择题或填空题,一般难度不太大。

例10、(2007上海理)已知x,y?R+,且x?4y?1,则x?y的最大值是 . 解: xy?111x?4y21x?4y?()?,当且仅当x=4y=时取等号.

244216 点评:本题考查基本不等式求最值的问题,注意变形后使用基本不等式。

例11、(2008浙江文)已知a?0,b?0,且a?b?2,则( ) (A)ab?1 2

(B) ab?1 2(C)a?b?2

22

(D) a?b?3

22解:由a?0,b?0,且a?b?2,∴4?(a?b2)?a2?b2?2ab?2(2a?2b)∴ ,

a2?b2?2。

点评:本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。

y2例12、(2008江苏)已知x,y,z?R,x?2y?3z?0,则的最小值 .

xzx?3z解:由x?2y?3z?0得y?,

2y2x2?9z2?6xz6xz?6xz??3,当且仅当x=3z 时取“=”代入得.

xz4xz4xz?点评:本小题考查二元基本不等式的运用.题目有有三个未知数,通过已知代数式,对所求式子消去一个未知数,用基本不等式求解。

考点五:绝对值不等式

【内容解读】掌握绝对值不等式|x|<a,|x|>a(a>0)的解法,了解绝对值不等式与其它内容的综合。

【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主,有时与充分必要条件相结合来考查,难度不大。

例13、(2008湖南文)“|x-1|<2”是“x<3”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.即不充分也不必要条件

解:由|x-1|<2得-1<x<3,在-1<x<3的数都有x<3,但当x<3时,不一定有-1<x<3,如x=-5,所以选(A).

点评:本题考查绝对值不等式的解法,充分条件必要条件的解法,可以用特殊值法来验证,充分性与必要性的成立。

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