从洛必达法则谈起

XXXX数学与计算科学学院2011届毕业论文

由(2)式知,上式右边第一个因子是有界量,而第二个因子对固定的x1,由题设条件(1)

?知它当x?a时是无穷小量,因此???0,当a?x?a???x1时,有

f(x)f(x1)?f(x)??? (3) g(x)g(x1)?g(x)2综合(2)、(3)两式知,对一切满足a?x?a??的x均有

f(x1)?f(x)f(x)f(x)f(x1)?f(x)???A????A???? g(x)g(x)g(x1)?g(x)g(x1)?g(x)22f(x)f'(x)?lim?A ?x?ag(x)g'(x)所以 lim?x?a同理可证A为?或??得情形. 例2.2.1 求 limlnx.

x???x33解:当x??时,lnx?0和x?0,是

?型未定式,由洛必达法则Ⅱ,有 ?1lnx(lnx)'x?lim1?0. lim3?lim?limx???xx???(x3)'x???3x2x???3x3注 对

?0f'(x)仍是型未定式的情况,类似于型未定式,只要满足法则的条件,洛

0?g'(x)必达法则也可以多次使用.

ln(1?x2)例2.2.2 求 lim.

x??2x解:由洛必达法则Ⅱ,有

2x2ln(1?x)x1?x lim?lim?lim2x??x??x??2x21?x1?0 ?limx??2x2注:定理2.1和定理2.2中的条件是求极限得充分条件,而非必要条件,limx?af'(x)不g'(x)存在或非?并不能说明原式limx?af(x)不存在,因此,在应用洛必达法则时,要注意检查是g(x)否合法则中的3个条件,当条件不具备时,应转用其他的方法.

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2.3 其他型未定式

洛必达法则不仅可以用来解决

0?型和型未定式的极限问题,还可以用来解决其他类0?00?型未定式的极限.例如:0??型、???型、0型、?型、1型等.在求这些未定式的极限时,通常可以经过适当的变形,先将它们转化成吗.下面每一类型举一例子加以说明.

0?型或型,再用洛必达法则进行计算0?xlnx. 例2.3.1 求 lim?x?0解:这是0??型未定式,可先将其转化成

?型: ?lnx. limxlnx?limx?0?x?0?1x由洛必达法则Ⅱ,有

1lnx(lnx)'x?lim(?x)?0 limxlnx?lim?lim?lim?x?0?x?0?1x?0?1x?0?1x?0?()'xxx221?). 例2.3.2 求极限 lim(2x?1x?1x?1解:这是???型未定式,通过恒等变形,可得

lim(x?1212?(x?1)?)?lim.

x?1x2?1x?1x2?1由洛必达法则Ⅰ,有

limxx?02?(x?1)1?x?11?lim?lim??

x?1x?1x2?1x?1x?1x2?12x. 例2.3.3 求lim?解:这是0型未定式,由于被求函数是幂指函数的形式,可先将其变形为exxlnxlimx?lime, ??x?00xlnx,即

x?0xxlnx是0??型未定式,又由于e是连续函数,所以,可以先求指数的极限,指数极限lim?x?0由例2.3.1可得

x?0?limxlnx?0,

因而

x?0xxlnxx?0?limx?lime?e??x?0limxlnx?e0?1

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() 例2.3.4 求lim?x?001xtanx.

解:这是?型未定式,先 转化成指数形式:

1tanxln1tanxxlim()?lime, ??x?0xx?0其中,tanxln1?是0??型未定式,转化成型后,由洛必达法则可得 x?11lnx?(?2)1x?limx?limsinx?sinx?0 limtanxln?limx?0?x?0?xx?0?cotxx?0??1x2sinx1所以

limtanxln1tanxxx?0?lim()?e?e0?1. ?x?0x 例2.3.5 求极限 limxx?1?11?x.

lnx1?x解:这是1型未定式,先将幂指函数转化成e,即

lnx1?xlimxx?111?x?limex?1,

其中,

lnx0是型未定式,由洛必达法则Ⅰ,有 1?x01lnxlim?limx??1, x?11?xx?1?111?xlnx1?x故

limxx?1?limex?1?e?1

?注 一般地,求幂指函数形式未定式0型,?型,1型的极限大致可分为以下3个步骤:

(1)通过恒等变形将幂指函数转化成指数形式,即f(x)g(x)00?eg(x)lnf(x);

(2)先求指数的极限limg(x)lnf(x)(一般为0??型); (3)由指数函数的连续性求出幂指函数的极限:limf(x)

g(x)?elimg(x)lnf(x).

3施笃兹定理及其应用

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3.1施笃兹定理的证明

洛必达法则解决了分子、分母均可导的形如等可通过适当的变换转化为

0?0和(其他如0??型、???型、0型0?0?或)的一些问题,但对于某些类型(包括常见类型)的数0?列极限或是非可导函数的极限计算问题,应用上述法则或是教科书中介绍的其他方法可能显得比较赘繁,相比之下,用施笃兹定理则显得较为简单.

定理3.1.1(

?型的Stolz定理) 设数列{xn}严格递增(即?n?N,有xn?xn?1),且?n??limxn???,若limn??yn?yn?1y?l,则有limn?l(其中l为有限数,??或??).

n??xxn?xn?1n定理3.1.2(

0型的Stolz定理) 设n??时,yn?0,数列{xn}严格递减且0limxn?0,若limn??n??yn?yn?1y?l,则limn?l(其中l为有限数,??或??).

n??xxn?xn?1n为了证明定理3.1.1,先做一些准备.

定义:设给定一个有非负实数排列成的无穷三角形数表(或称无穷三角阵):

?t11??t?t2122????? ????tt?tn1n2nn??????????如果这数表满足条件:(1)

?tk?1nnk?1,?n?N;

(2)对任意给定的正整数k都有limtnk?0;那么就把这样的数表{tnk}称做托普里兹数表

x??或托普里兹数阵,并把数列变换(?n??tk?1nnk?k(n?1,2,???))称做托普里兹变换.

引理3.1.1:设{tnk}是任意一个托普里兹数表,{?n}是任意一个无穷小数列,并设

?n??tnk?k(n?1,2,???),则有lim?n?0.

k?1x??n引理3.1.2:设{tnk}是任意一个托普里兹数表,{un}是收敛于l的实数数列,

Vn??tnkuk,(n?1,2,???),则limVn?l.

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