第一章习题解答
1-3 一粒子按规律x?t3?3t2?9t?5沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔． [解] 由运动方程x?t3?3t2?9t?5可得
dx?3t2?6t?9?3?t?3??t?1? （1） dtdv粒子的加速度 a??6?t?1? （2）
dt由式（1）可看出 当t?3s时，v?0，粒子沿x轴正向运动； 当t?3s 时，v?0，粒子沿x轴负向运动．
由式（2）可看出 当t?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴正方向； 当t?1s 时，a?0，粒子的加速度沿x轴负方向．
因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t?3s或0?t?1s间隔内粒子加速运动，在1s?t?3s间隔内里粒子减速运动．
质点的速度 v?
1-4 一质点的运动学方程为x?t2，y??t?1? （S1）．试求： （1）质点的轨迹方程;（2）
2在t?2s时，质点的速度和加速度．
[解] （1） 由质点的运动方程 x?t2 （1）
y??t?1? （2）
2 消去参数t，可得质点的轨迹方程 y??x?1
?2 （2） 由（1）、（2）对时间t求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 vx?dxdy?2t vy??2?t?1? dtdt所以 v?vxi?vyj?2ti?2?t?1?j （3）
d2xd2y?2 ay?2?2 ax?2dtdt 所以 a?2i?2j （4） 把t?2s代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度． v?4i?2j a?2i?2j
1-5 质点的运动学方程为x?Asin?t，y?Bcos?t，其中 A、B、?为正常数，质点的轨道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心．
[证明] 由质点的运动方程 x?Asin?t （1）
y?Bcos?t （2） 对时间t求二阶导数，得质点的加速度
d2yd2x2??A?sin?t ay?2??B?2cos?t ax?2dtdt7-1
所以加速度矢量为 a???2?Asin?ti?Bcos?tj????2r 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心．
1-6 质点的运动学方程为r?2ti?2?t2j （SI），试求：（1）质点的轨道方程；（2） t?2s时质点的速度和加速度．
[解] （1） 由质点的运动方程，可得
??x?2t y?2?t2
消去参数t，可得轨道方程 y?2?12x 4 （2） 由速度、加速度定义式，有
v?dr/dt?2i?2tj
a?d2r/dt2??2j
将t?2s 代入上两式，得
v?2i?4j a??2j
?、1-7 已知质点的运动学方程为x?rcos?t，y?rsin?t，z?ct，其中r、c均为常量．试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式．
[解] （1） 质点的运动方程 x?rco?st （1）
y?rsin?t （2）
z?ct （3）
由（1）、（2）消去参数t得 x2?y2?r2
此方程表示以原点为圆心以r为半径的圆，即质点的轨迹在xoy平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率c沿z轴匀速运动． 综上可知，质点绕z轴作螺旋线运动． （2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间t求导数可得质点的速度 vx?dx??r?sin?t dtdy?r?cos?t dtdzvz??c
dtvy?所以 v?vxi?vyj?vzk??r?sin?ti?r?cos?tj?ck 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度
d2yd2x2?t ax?2??r?cos?t ay?2??r?2sindtdtaz?0
7-2
所以 a?axi?ayj?azk??r?2cos?ti?r?2sin?tj （3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式 r?xi?yj?zk?rcos?ti?rsin?tj?ctk
1-8 质点沿x轴运动，已知v?8?2t2，当t?8s时，质点在原点左边52m处（向右为x轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质．
[解] （1） 质点的加速度 a?dv/dt?4t 又 v?dx/dt 所以 dx?vdt 对上式两边积分，并考虑到初始条件得
?所以 x?8t?x?52dx??t8vdt???8?2t?dt
t2823t?457.3 323t 3因而质点的运动学方程为 x??457.3?8t?（2） 将t?0代入速度表达式和运动学方程，得
v0?8?2?02?8m/s
2x0??457.3?8?0??03??457.3m
3（3） 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为?457.3m.
1-9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x．物体在x?0处的速度为
10ms，求物体的速度与位置的关系．
[解] 根据链式法则 a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxvdv?adx??2?6x?dx
对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为
?v10vdv???2?6x?dx
0xv?6x2?4x?100 ms
1-10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a?g?Bv，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设t?0时物体的初速度为零．（1）试求物体的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? [解] （1） 由a?dvdv?dt 得
g?Bvdt两边分别积分，得
?dv?0g?Bvv?t0dt
7-3
所以，物体的速率随时间变化的关系为：
g?1?e?Bt? B（2） 当a?0时 有 a?g?Bv?0（或以t??代入）
v?由此得收尾速率 v?g B
1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a??ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值．设y0处物体的速度为v0，试求速度v与y的函数关系． [解] 根据链式法则 a?dvdvdydv ??vdtdydtdyvdv?ady vdv?对上式两边积分
?即 故速度v与y的函数关系为
vv0?yy0ady??yy0?kydy
12?v?v02???1k?y2?y02? 2222v2?v0?k?y0?y2?
1-12 一艘正以速率v0匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与速度的平方成正比，即a??kv2， k为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时
速度的大小．
dvdvdxdv ??vdtdxdtdxv dx?dv
a[解] 根据链式法则 a?对上式两边积分
?0化简得 x??xdx??vv0vdvv dv??v0?kva1vln kv0所以 v?v0e?kx
l-13 一粒子沿抛物线轨道y?x2运动，且知vx?3ms．试求粒子在x?速度．
[解] 由粒子的轨道方程 y?x2
2m处的速度和加37-4
对时间t求导数 vy?dydx?2x?2xvx （1） dtdt再对时间t求导数，并考虑到vx是恒量
a?把x?dvydt2 （2） ?2vx22m代入式（1）得 vy?2??3?4ms 332所以，粒子在x?m处的速度为
322v?vx?vx?32?42?5ms
与x轴正方向之间的夹角
??arctan由式（2）得粒子在x?vyvx?arctan4?5308? 32m处的加速度为 3a?2?32?18ms2
加速度方向沿y轴的正方向．
1-14 一物体作斜抛运动，抛射角为?，初速度为v0，轨迹为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径．
[解] 物体在A点的速度设为vA，法向加速度为anA，曲率半径为?A，由题图显然有
vA?v0cos? （1） anA=g （2）
2vA?A?anA （3）
2v0cos2?联立上述三式得 ?A?
g物体在B点的速度设为vB，法向加速度为anB，曲率半径为?B，由题图显然有
vB?v0 （4） anB?gcos? （5）
7-5
2vB?B?anB （6）
2v0联立上述三式得 ?B?
gcos?
1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为300，求点A的切向加速度和该处的曲率半径． [解] 设A点处物体的切向加速度为at，法向加速度为an，曲率半径为?，则
g?at?an
由图知 at??gsin300??0.5g
an?gcos300?3g/2
v2v223v2??又 ?an 所以 ??an3g?3g/2v2
1-16 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为s?v0t?12bt，其中v0和b都是正常量．求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小． 2
[解] 设时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度at，法向加速度an，则
v?ds?v0?btdtdvat??b
dtv2(v0?bt)2an??RR所以，t时刻齿尖P的加速度为
(v0?bt)4a?a?a?b?
R22t2n2
1-17 火车在曲率半径R＝400m的圆弧轨道上行驶．已知火车的切向加速度at?0.2ms2，求火车的瞬时速率为10ms时的法向加速度和加速度．
v2102[解] 火车的法向加速度 an???0.25ms2 方向指向曲率中心
R4002火车的总加速度 a?an?at2?0.252?0.22?0.32ms2
7-6
设加速度a与速度v之间的夹角为?，则
??arctan
an0.25?arctan?51.340?51020? at0.21-18 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置??2?4t3．（1）在t?2s时，它的法
向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?值为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?
d??12t2 dt质点的线速度 v?R??0.10?12t2?1.2t2
[解] 质点的角速度 ??质点的法向加速度an，切向加速度at为
an??2R??12t2??0.10?14.4t4 （1）
2 at?dv?2.4t （2） dt（1）把t?2s代入（1）式和（2）式，得此时
an?14.4?24?2.3?102m/s2at?2.4?2?4.8m/s（2）质点的总加速度
2
2a?an?at2?2.4t36t6?1
1a 得 2.4t?0.5?2.4t36t6?1 2解得 t?0.66s
所以 ??2?4t3?3.15rad
由 at?（3）当an?at即14.4t4?2.4t时
有 t?0.55s
1-19 河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为v0．某人以相对水流不变的速率v垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程． [解] 取图示坐标系
vx?ky
d时，vx?v0 22v代入上式得 k?0
d已知 y?7-7
所以 vx?又 vy?v
2v0y （1） d积分得 y?vt （2）
2v0vt dv积分得 x?0vt2 （3）
dv由（2）、（3）消去t得 x?0y2
vd代入（1）式得 vx?第二章习题解答
2-3 质量为m的子弹以速率v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv
(1) 由牛顿第二定律
f?ma?mdvdt
即
?kv??mdvdt
dvk??dtm 所以 vdvkt??dt??v0v0m对等式两边积分
vln 得
vk??tv0m v?v0k?tme 因此
(2) 由牛顿第二定律
f?ma?mdvdvdxdv?m?mvdtdxdtdx
即
?kv?mvdvdx
所以
?kdx?dvm
7-8
对上式两边积分
?0ksdx??v0dv m?0 得到
?ks??v0m
即
s?mv0k
2-4 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
mg?Fv?kkt????1?em?????
fF0[证明] 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，
开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
dvmg?F?f?ma?mdt
即
mgymg?F?kv?ma?mdvdt
dvdt?mg?F?kvm
整理得
对上式两边积分
?0vtdtdv?mg?F?kv?0m
ln得
mg?F?kvkt??mg?Fm
kt????1?em?????
即
mg?Fv?k
2-5 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的
2平方成正比，即F?kv。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为vT，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
2mg?kvT此时
7-9
即
vT?mgk
有牛顿第二定律
mg?kv2?mdvdt
dvdt?2mg?kvm
整理得
对上式两边积分
?0vtdtdv1?mg?kv2?0m2mgk
ln 得
2tmg?kvmg?kv?tm
2tv?整理得
eemkg2tmkg?1mge?k?1emkg2tmkg?1?1vT
2-6 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同 (1)每个星球所受的合力
F1?F2?Gmm?2R?2m2?G4R2
(2) 设运动周期为T
2?Rv2T?F1?mR v
T?4?R联立上述三式得
RGm
T1?T2?T?4?RRGm
所以，每个星球的运行周期
2-7 一种围绕地球运行的空间站设计成一个环状密封圆筒(像一个充气的自行车胎)，环中心的半径是1.8km。如果想在环内产生大小等于g的人造重力加速度，则环应绕它的轴以多大的速度旋转？这人造重力方向如何？
[解] 由于人造重力即人在环内的惯性离心力，所以有
2m?r?mg
7-10
??g9.8??7.4?10?2rad/s3r1.8?10
此人造重力的方向为沿着环的转动半径向外。
2-8 一根线密度为?的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。
[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力N1，另一部分是
?
正在下落的dx段对桌面的冲力N2，桌面对dx段的作用力为N2。显然 N1??sg
t时刻，下落桌面部分长s。设再经过dt，有dx落在桌面上。取下落的dx段链条为研究对
象，它在dt时间之内速度由
v?2gs变为零，根据动量定理
? N2dt?dp (1)
dp?0??vdx (2) dx?vdt (3)
?由(2)、(3)式得 N2??2sg? ? N2??N2?2sg?
故链条对桌面的作用力为 N?N1?N2?3?sg
第三章习题解答
3-3 略
3-4 质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300ms，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力F?400?800x9。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。 [解] 设枪筒长度为L，由动能定理知
L0A?1212mv?mv022
L0 其中
A??Fdx??(400?8000x)dx9
7-11
4000L2?400L?9
而v0?0， 所以有：
4000L2400L??0.5?0.002?30029
400L2?360L?81?0L?0.45m
化简可得：
即枪筒长度为0.45m。
3-5 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度
v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为?，试证明：当滑块从屏障的另一
端滑出时，摩擦力所作的功为
W?12?2??mv0e?12
??[证明] 物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为 f??N (1)
另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 ?f?mat (2) 习题3-4图
v2N?mR (3) 法向
v2at???R 联立上述三式解得
又
at?dvdvdsdv??vdtdsdtds
dvv2v???dsR 所以
?dv??dsR 即 v两边积分，且利用初始条件s=0时，v?v0得
lnv???Rs?lnv0 即
v?v0?seR?
7-12
由动能定理
W?1212mv?mv022，当滑块从另一端滑出即s??R时，摩擦力所做的功为
2?12?R?R1212?2??W?mv0e?mv0?mv0e?1222
??3-6 一质量为m1与另一质量为m2的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由x1增加到x?x1?d时所需要作的功。
F??G[解] 万有引力
m1m2r2r0
两质点间的距离由x增加到x?x1?d时，万有引力所作的功为
A??x1?dx1F?dr???x1?dx1Gm1m2r2?11?dr?Gm1m2???x?dx??1??1
故外力所作的功
A???A??x1?dx1?11?d?F?dr?Gm1m2???Gmm12?x?x1?x1?d??1x1?d?
A外??E??Ep＝?
此题也可用功能原理求：
3f?kr3-7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为，k为常数。若取无穷
远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。 [解]由势能的定义知r处的势能
Ep为:
?rEp??f?dr??fdr??rr???rk1dr??kr32r2?k2r2
3-8 设地球的质量为M，万有引力恒量为G0，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心R1下降到R2处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
?Ek???Ep??[?G0?G0MmMm?(?G0)]R2R1
7-13
Mm(R1?R2)R1R23-9 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成
Ep?x??ab?x12x6，式中a、b为常
数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时
Ep?x??0?x为何值时
Ep?x?为极小值?(2)试确定两原子间的作用
力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。 [解] (1) 当
Ep?x?=0时，有：
ab??0126x x
即
x6?1a?06b 或 x 习题2-32图
a1x1?()6或x??时，E（?0px）b故 EpdEp(x)(x)为极小值时，有
dx?0
?12即
ab?6?0x13x7
或x2???x1????b?所以
12a?6
(2)设两原子之间作用力为f?x?，则
f(x)??gradEp(x)
在一维情况下，有
f(x)??
dEp(x)dx?12ab?6x13x7
(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x
它们互相排斥，另一原子将远离；当x>x2 时f(x)<0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 第四章习题解答 4-3 质量为M的平板车，在水平地面上无摩擦地运动。若有N个人，质量均为m，站在车上。开始时车以速度v0向右运动，后来人相对于车以速度u向左快跑。试证明：(1)N个人 7-14 一同跳离车以后，车速为 v?v0?NmuM?Nm (2)车上N个人均以相对于车的速度u向左相继跳离，N个人均跳离后，车速为 mumumuv??v0?????M?NmM??N?1?mM?m [证明] (1) 取车和人组成的系统为研究对象，以地面为参照系，系统的水平方向的动量守恒。 人相对于地面的速度为v?u，则 ?M?Nm?v0?Nm?v?u??Mv 所以 v?v0?NmuM?Nm (2) 设第x?1个人跳离车后，车的速度为vx?1，第x个人跳离车后，车的速度为vx，根据动量守恒定律得 ?M??N?x?1?m?vx?1?m?vx?u???M??N?x?m?vx 所以 vx?vx?1?mu?N?x?1?m?M 此即车速的递推关系式，取x?1,2,?,N得 vN?vN?1?vN?1?vN?2mum?M mu?2m?M …………………… muv2?v1??N?1?m?M v1?v0?muNm?M 将上面所有的式子相加得 mumumumuvN?v0??????Nm?M?N?1?m?M2m?Mm?M 此即为第N个人跳离车后的速度，即 mumumuv??v0?????M?NmM??N?1?mM?m 4-4 略 4-5 略 4-6 F＝30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300N?s，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10 ms，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少? 7-15 [解] 根据冲量定义 I??Fdt???30?4t?dt?30t?2t200tt (1)开始两秒钟此力的冲量 I2?30t?2t2?30?2?2?22?68N?s (2) 当I?300N?s时 30t?2t2?300 解得 t?6.86s (3) 当t?6.86s时，I?300N?s，根据动量定理 I??p?mv?mv0 因此 v?I?mv0300?10?10??40msm10 4-7 质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程r?acos?ti?bsin?tj，试求：(1)质 点的动量；(2)从t＝0到 t?2??这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点 的动量是否守恒?为什么? [解] 质点的速度 v?dr??a?sin?ti?b?cos?tjdt (1) (1) 质点的动量 p?mv?m???asin?ti?bcos?tj? (2) 由(1)式得t?0时，质点的速度 v0?b?j t?2??时，质点的速度为 vt??a?sin2?i?b?cos2?j?b?j 根据动量定理 I??p?mvt?mv0?0 7-16 解法二： drv???a?sin?ti?b?cos?tjdtdva???a?2cos?ti?bw2sin?tjdtF?ma??ma?2cos?ti?mbw2sin?tj 2?02?0I???Fdt????ma?2cos?ti?mbw2sin?tjdt?0?? (3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。 4-8 如图所示，砂子从h＝0.8m处下落到以v0?3ms的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。 [解] 如图所示，设?t时间内落下的砂子的质量为?m，则 ?m的动量改变 ?p??m?v0?v1? 显然有 由图可知 v1?2gh 习题2－19图 ?p???mv1?2???mv0?222??mv1?v0 ?mv0根据动量定理 F?t??p 所以 F??p?m2?m22?v1?v0?2gh?v0?t?t?t ?mv1?p?100?2?9.8?0.8?32?497N 4-9 矿砂从传输带A落到另一传输带B，其速度大小为v1＝4ms，v2＝2ms方向如图所示。设传输带的运送量?m?t＝2000kgh，求矿砂作用在传输带B上的力的大小和方向。 [解] 取?t时间内落下的矿砂?m为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为 ?px???mv2cos?2??mv1sin?1??m?v1sin?1?v2cos?2? ?py??mv2sin?2??mv1cos?1??m?v1cos?1?v2sin?2? 7-17 根据动量定理 F?t??p Fx?t??px Fy?t??py 所以 Fx???px?m?v1sin?1?v2cos?2??20004sin300?2cos150?3.79?10?2N??t?t3600 ??Fy??py?t?m?v2sin?2?v1cos?1??20002sin150?4cos300?2.21N?t3600?? 故矿砂作用在传输带B上的力 yF?Fx2?Fy2?2.112?3.79?10?3 与竖直方向的夹角 ??2?2.1Nx0?3??arctgFx3.79?10?arctgFy2.11?10 4-10 如图所示，浮吊的质量M＝20t，从岸上吊起m=2t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角?由60转到30，设杆长l=8m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。 00MaMx习题3-20图 Obmymx?=600x?=300[解法一] 取吊车和重物组成的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，因此?在由60转到30时，质心的位置不变。取质心为坐标原点，如图所示。设在?在由60转到30时吊车在水平方向上移动的距离为x，重物在水平方向上移动的距离为y，则 0000?=600时 Ma-mb=0 a+b=lsin60 0?=300时 M(a-x)-m(b-y)=0 7-18 (a-x)+ (b-y)=lsin30 0mlsin600?sin3002?8sin600?sin300x???0.266mM?m20?2联立上述四式得 [解法二] 以岸边为参考系，选如图坐标系，因水的阻力不计，因此浮吊在x方向动量守恒。 该M以V向岸边靠拢，m相对M以u向左运动，相对岸边的速度为u-V。 吊杆转动角度?前后，在水平方向动量守恒， ????0?MV?m?u?V? 即 V?muM?m 依题意，m在水平方向相对浮吊移动的距离为 x2?l?cos300?cos600??2.93m 经历时间 t?x2u 在t时间内，M在x方向移动的距离为 x1?Vt?xm2?2.93u?2??0.266mM?mu20?2 R地?6.40?1064-11 某人造地球卫星的质量为m＝l802kg，在离地面2100km的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径 m)。 [解] 设卫星的速度为v，地球的质量为M，则 GMm?R地?h?2v2?mR地?h (1) G又 M?gR地 (2) v?联立两式得 卫星对地的角动量 gR地R地?h L?m?R地?h??v?mg?R地?h??地?18029.8?6.40?106?2.10?106?6.40?106?1.05?1014kg?m2s ?? 4-12 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d，求月球对地球中心的角动量及面积速 7-19 度( m月?7.35?1022kg，轨道半径R=3.84?10m)。 8[解] 设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则 v?2?R/T 2?RT 7.35?1022?(3.84?108)2?2?3.14?27.3?24?3600 L?m月Rv?m月?2.89?1034kg?m2/s 月球的面积速度为 v面??R2/T?1.96?1011m2/s 6??4.13?10rads在半径r?5.3?10?10m的圆形轨道上4-13 氢原子中的电子以角速度 ?34绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h表示之(h?6.63?10[解] 电子的轨道角动量 J?s)。 L?mr2??9.1?10?31?5.3?10?10 ??2?4.13?106?1.06?10?42?1.6?10?9J?s 4112.93?10ms。1.52?104-14 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为m，轨道速度为 116个月后，地球处于近日点，到太阳的距离为1.47?10m。求：(1)在近日点地球的轨道速度； (2)两种情况下地球的角速度。 [解] 设在近日点附近地球的轨道速度为v1，轨道半径为r1，角速度为?1；在远日点地球的轨道速度为v2，轨道半径为r2，角速度为?2。 (1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量守恒。 m地r1v1?m地r2v2 所以 r2v21.52?1011?2.93?104v1???3.03?104ms11r11.47?10 v13.03?104?1???2.06?10?7rads11r11.47?10(2) v22.93?104?2???1.93?10?7rads11r21.53?10 7-20 10r?8.75?10m，14-15 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是 42v?5.46?10msv?9.08?10ms，这时它12其时它的速率为；它离太阳最远时的速率是 离太阳的距离r2是多少。 [解] 彗星运行受的引力指向太阳，所以它对太阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最 远的地点时，速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒 mr1v1?mr2v2 由此得到 r1v18.75?1010?5.46?10412r2???5.26?10m2v29.08?10 4-16 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行，地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离为439km，与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1kms，求它在远地点的速率是多大? [解] 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该力总是指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即 L1?L2 由于两者的方向一致，上式可直接用大小来表示， 有 mv1?R?l1??mv2?R?l2? 得到 R?l16378?103?439?1033v2?v1?8.1?10??6.30kmsR?l26378?103?2384?103 4-17 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员，沿着相距1.5m的两条平行线相向运动，速率皆为10ms。当两人相距为1.5m时，恰好伸直手臂相互握住手。求：(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时，角速度变为多大? [解] 取两人组成的系统为研究对象，系统对两人距离中点的角动量守恒 (1) 设两人质量均为m，到转轴的距离为r1，握住手以后绕中心角速度为?1，系统对转轴的转动惯量为J1，则有： r1mv?r1mv?J1?1 (1) 222J?mr?mr?2mr1111 又 (2) 联立（1），(2)式得 ?1?v/r1?10/0.75?13.3rad/s 7-21 (2) 设两人相距1.0米时，角速度为?2，此时系统对转轴的转动惯量为J2，两人到转轴的 距离为r2，则 J1?1?J2?2 (3) J2?mr22?mr22?2mr22 (4) 又联立(2)-(4)式得 ?2?r12?1/r22?0.752?13.3/0.52?29.9rad/s 本题要注意，对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况，指出系统对哪个转轴或哪个点的角动量守恒。 4-18 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知 F?F0sin2?tT，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0 到T2时间内，力F冲量的大小；(3)在0到T2时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。 [解]由冲量的定义 t1I??Fdtt2t1，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即 t2 (1) 从t＝0到 t=T，冲量的大小为： TI??Fdt I1??Fdt?0?0TF0sinFT2?t2?tTdt?0[?cos]0T2?T=0 (2) 从t=0到 t=T/2，冲量的大小为 I2??Fdt??F0sin00T2T2FTTF2?t2?tT2dt?0[?cos]0?0T2?T? (3) 初速度v0?0，由冲量定理 I?mv?mv0 当 t=T/2时，质点的速度 v?ITF0?m?m 又由动能定理，力F所作的功 mT2F02T2F02111222A?mv?mv0?mv??222222?m2?2m (4) 质点的加速度 a?(F0/m)sin(2?t/T)，在t=0到t=T/2时间内，a>0，质点作初速度为 零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a<0，但v>0，故质 7-22 点作减速运动，t=T时 a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。 4-19 如图所示，将质量为 m的球，以速率v1射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中? [解] 设地球和弹簧枪的共同速度为v2，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有 mv1??m?M?v2 (1) 习题3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量 W?1212mv1??m?M?v222 (2) 11m22W?mv1??m?M?v22122?m?M?联立以上两式得 121m2?mv1?v1222m?M mMv121m?2??mv1?1???2m?M??2?m?M? 4-20 角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。 [解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以r?v，由L?r??mv?知， L?rmv v?Lrm 211?L?1L22Ek?mv?m???22rm2r2m ??所以卫星的动能 选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得： v2GMmFn?m?2rr 所以 Ek?12GMmmv?22r 7-23 又 Ep??GMmr L2Ep??2Ek??2mr 所以 L2E?Ek?Ep??2mr2 所以 4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为L0，倔强系数为k。当t＝0时，弹簧长度为L0。滑块得一水平速度v0，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用 ?角表示)。 [解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即 12121mv0?mv?k(L?L0)2222 (1) 小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即 L?r?mv?恒量 故 L0mv0?Lmvsin? 2v?v0? (2) 由(1)式得 代入(2)式得 k(L?L0)2m ??arcsin2Lv0?L0v0k(L?L0)2m 4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂，裂变产生的快中子的质量为1个原子质量单位(记作1u)，石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞前后中子速率的比值，(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为E0。 [解] 设中子质量为m1，碰撞前后速度分别为v1,v2；石墨原子质量为m2，碰撞后速度为v2。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中，有： ?7-24 ??m2v2?m1v1?m1v1 此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有： 化简上两式，得： 111?2?m2v2?2m1v12?m1v1222 2??12v2??2?12v2?2v1?v1v?v11 可解出 ???v111v1?0.85v113 碰撞过程中中子损失的能量： ?E? 111112121482248?2?m1v12?mm1v1?m1v1v1?m1v1?E0?0.28E022221692169169 第五章习题解答 5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b．中心O取为原点，坐标系如图所示．设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为 JOx?111Mb2JOy?Ma2JOz?Ma2?b2121212 ??[解] 根据转动惯量的定义 对Jox 取图示微元，有 J??r2dmy Jox??11dmb2?mb2m1212 Joy?1ma212 同理可得 对于 Joz??r2dm??(x2?y2)dm??x2dm??y2dm?Joy?Jox?11ma2?mb21212 5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大? [解] 建立坐标系，取图示面积元 ds?rdrd?，根据转动惯量的定义有 dr dm r 2mJox??y2dm???r2sin2?rdrd?00?R2 2m?R31?2rsin2?drd??mR24?R00 ?RR ?d?O x ??7-25 5-2-3 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示．求细棒对轴AA?的转动惯量． [解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元， dm??dl??Rd?， 根据转动惯量的定义式有 ? x d?dl JAA??x2dm????0R2sin2??Rd??mR2?0 5-2-4 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量． [解] 建立如图所示的坐标系，取一????d?的球带， ??sin2?d??1mR22 y r x ?ds?2?rRd?它对y轴的转动惯量 dI?r2dm?r2m2?rRd?4?R2 又 r?Rcos? mR2dI?cos3?d?2所以 ?I??dI???2?2mR22cos3?d??mR223 此即空心球壳对直径轴的转动惯量． 5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B．（1）若测得这时齿轮的角速度为600 rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速 度和加速度是多大? t?[解] （1） 齿轮由A转到B孔所需要的时间 2?500?1???600?2?3?105 c?所以光速 2L2?500??3?108ms1T3?105 7-26 ?22v??R?600?2??5?10?1.88?10ms （2） 齿轮边缘上一点的线速度 2?252??a??R?600?2??5?10?7.10?10ms齿轮边缘上一点的加速度 2 5-3 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小．又过了5s后，飞轮停止转动．若 该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析 2???t??2?1?1 得 11111加速阶段．由题意知 和 0 ?12?1t1?1??2?12 20 匀速旋转阶段． ?2??1t2 ?12?1t3?3??22?2330 制动阶段．?1??3t3 ?1?2?3?3 由题意知 ?1??2??3?100?2? ?1t1联立得到 2??1t2??1t32?100?2? 2??100?t2?所以 200200?6??52?602?60?183s20060 因此转动的总时间 t?t1?t2?t3?6?5?183?194s 5-4 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和 m2的物体，且m1>m2．设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘， 绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体 的加速度和绳的张力． [解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示 T1T2m2Nm1m1gMm2g7-27 T2MgT1 对m1取向下为正方向： m1g?T1?m1a （1） 对m2取向上为正方向： T2?m2g?m2a （2） ??Tr?Tr?J? （3） 12M对取顺时针方向为正方向： 2又 J?Mr/2 （4） a?r? （5） ?T1?T1 （6） ?T?T2 （7） 2联立（1）-（7）式，解得 a?(m1?m2)gm1?m2?M/2 2m2?M/2m1gm1?m2?M/2 2m1?M/2m2gm1?m2?M/2 T1?T2?5-5 提示::第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理 5-6 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900rmin的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动．求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的 1mR2摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为2，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径）． [解] 根据角动量定理， Mt?J?2?J?1 M???NR J?1mR22 ?2?0 7-28 联立上述四式得到 ??mR?0?2Nt50?12??900?260?0.52?200?11.8 5-7 一飞船以角速度??0.20rads绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量 J?2000kg?m2．若宇航员想停止这种转动，启动了两个控 制火箭．它们装在距转轴r?1.5m的位置．若控制火箭以 v=50 ms的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率dmdt?2kgs．试问这两个切向火箭需要开动多长时间? [解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统．在喷气过程中，dt时间内喷出的气体为dm，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为 当飞船停止转动时，它的角动量为零． 0Lg?dmrv?mrv?m由系统角动量守恒得 mrv?J? 所以 m?J?rv 所求的时间为 t?m??J?2000?0.2??2.67s?rv2?1.5?50 5-8 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度?旋转，对地板的压力为F，并假定地板所受 的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为?，试求开动擦地板机所需的功率（提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率）． [解] 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为dr，则其面积为ds?2?rdr df???此面积元受到的摩擦力为 F?2?rdr2??D2? 所以此面元所受的摩擦力矩为 dM?r?df 其方向与ω方向相反 dM?rdfsin??rdf?r??其大小 8?F24F?2?rdr?rdr22?DD 又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为 7-29 M??dM??D208?F21rdr??FD3D2 1N?M???FD?3所以所需要的功率 5-9 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连 2J?10kg?m1结．轮A的转动惯量，开始时轮B静止， 轮A以n1?600rmin的转速转动，然后使A与B连结，轮B得以加速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于 n?200rmin为止．求：（1）轮B的转动惯量；（2）在 啮合过程中损失的机械能是多少? [解] （1）以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有 JA?A?JB?B??JA?JB?? 2J?J?10kg?mA1而 ?A?2?n1?20?rad/s ?B?0??2?n?20?rads3 20??20?3?10?20kg?m2 JB??A??J1??所以 在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为 2?JA?JB??2JA?A?E??22 20?3?0.5?10??20???0.5??10?20???20?/3??1.31?104J 22 第六章习题解答 6-2-2 在惯性系S中的同一地点发生A、B两个事件，B晚于A 4s，在另一惯性系中S′中观测到B晚于A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)在S′系这两个事件发生的地点间的距离是多少? ??[解] (1) 由题意知，固有时?0?4s，根据时间膨胀公式， 有： ?01?(u/c)2 1?(u/c)2??0/??4/5 7-30 u33?,u?c5 由此得c5 即 (2) 应用Lorentz变换式，得： x?? x?ut1?(u/c)2 3?4c?x?u?tu?t5?x????????3c2241?(u/c)1?(u/c)5所以 因而S?系中这两个事件发生地点间相距3c 。 6-2-3 设有一宇宙飞船，相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静 止长度的一半，问飞船相对地球的速度是多少? [解] 飞船静止长度 l0为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，有： lvl?l01?()2?0c2 v3?2 解得：cv?3c?0.866c2 4 即： 6-2-6 一颗核弹含有20kg的钚，爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量小10分之一，求爆炸中释放的能量。 [解] 由质能关系，得： ?482?E??mc2?20?10?(3?10)?1.80?1014J 6-2-7 远方一颗星体以0.80c的速率离开我们，我们接收到它辐射来的闪光按5昼夜的周期变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期。 [解] 所求的为固有周期 T0： 昼夜 T0?T1?(v/c)2?51?0.802?36-3 宇宙射线与大气相互作用时能产生?介子衰变，此衰变在大气上层放出?粒子，已知??6粒子的速率为v＝0.998c，在实验室测得静止?粒子的平均寿命为2.2?10s，试问在8000m 高空产生的?粒子能否飞到地面? [解] 地面上观测到的?子平均寿命与固有寿命之间的关系 7-31 t?t0?v?1????c? 2?子运行距离 ?子能飞到地面。 l?vt?vt0?v?1????0.998c?2.2?10?6?c?21?0.9982?1042m 6-4 在S系中观测到两个事件同时发生在x轴上，其间距离为1m，在S?系中观测这两个事件之间的距离是2m。求在S?中测得的这两个事件发生的时间间隔。 [解] 在S系中两事件时间间隔?t?0,由Lorentz变换 x?? x?ut1?(u/c)2ux2ct??1?(u/c)2t? ?x?u?t?x???x???1?(u/c)21?(u/c)2??uu??t?2?x?x2?cc????t??1?(u/c)21?(u/c)2??得： 将?x??2m,?x?1m代入上两式，得 3c,?t???5.77?10?9s2 6-5 1966～1972年间，欧洲原子核研究中心(CERN)多次测量到储存环中沿“圆形轨道”运 u??6行的?粒子的平均寿命，在?粒子的速率为0.9965c时，测得的平均寿命是26.15?10s。 ?粒子固有寿命的实验值是2.197?10?6s。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何? [解] ?粒子固有寿命理论值 ?v?t0?t1????2.615?10?6?1?0.99652?2.186?10?6s?c? 与实验值比较，相对误差0.5%，两者符合得极好。 6-6 略 6-7 (1)火箭A以0.8c的速率相对于地球向东飞行，火箭 B以0.6c的速率相对地球向西飞行，求火箭B测得火箭A的速率的大小和方向。 (2)如果火箭A向正北飞行，火箭B仍然向西飞行，则由火箭B测得火箭A的速率大小中方向又如何? [解] (1)选地球为S系，火箭B为S?系，并设正东为x轴正向，则对A有： 7-32 2 u??0.6c,vx?0.8c,vy?vx?0 由速度变换公式，得： v?x? 方向为正东。 (2) 坐标系仍如(1)问， vx?u0.8c?0.6c??0.946cu0.8c?0.6c1?2vx1?cc2 u??0.6c,vx?vz?0,vy?0.8c 由速度变换公式，有 v?u?vx?x?0.6cu1?2vxc 2v1?(u/c)y?vy??0.64cu1?2vxc ??0vz 22?2?0.877cv??v?x?v?y?vz 有正东方向夹角为 6-8 设一火箭的静止质量为100t，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少? 4v?11.2kms?1.12?10ms [解] ??cos?1v?0.6cx?cos?1?46.83?v?0.877c m?m0?v?1????c?2?1?1.12?1???5?3?10?2?1.0000000009m ?m?m?m0?9?10?10m0?9?10?2g 881.2?10ms2.4?10ms必须做多少功? 6-9 要使电子的速率从增加到 [解] 由动能定理，外力所作的功为 A??mc2?m0c2( 11?(v2/c)2?11?(v1/c)2) ?14?14A?8.199?10(1.667?1.091)?4.72?10J 代入数据，得 6-10 某粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静能时，其质量和动量各等于多少? 7-33 22E?mc?mck0[解] 动能为 由已知条件 2 Ek?m0c，故 1/1?(v/c)2?2 v?解出 3c2 2m?所以有 m01?(v/c)?2m0 因此 p?mv?3m0c 6-11 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为 5?1028J?s，由于这个原因，太阳每秒钟减少多少质量? 2283?108[解] ?m??Ec?5?10??2?5.56?1012kg 22mcm006-12 假设一个静止质量为、动能为的粒子同一个静止质量为2m0，处于静止状 态的粒子相碰撞并结合在一起，试求碰撞后结合在一起的粒子的静止质量。 [解]依题意，得： Ek?m0c2( 11?(v/c)2?1)?2m0c2 v?22c31故有 1?(v/c)2?3 由动量守恒、能量守恒定律，得 m0v 21?(v/c)22??v?m01?(v?/c)2? 2m0c?m0c 11?(v/c)2?c2m01?(v?/c)2 ?可解得 m0?17m0 9 6-13 在北京的正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为Ek?2.8?10eV。这种电6E?0.511?10eV)。 0子的速率与光速相差多大?一个电子的动量是多大?(电子的静止能量 7-34 Ek?m0c[解] 因为 2??1?21?????1??? 1所以 1??222.8?109?1??1??5480m0c20.511?106Ek ?1???1????0.9999999835480?? c?v??1???c?1.6?10?8c?4.9m?s?1 p?m0v?v?1????c?2?5480?9.11?10?31?0.000000083c?1.5?1018kg?m?s?1 6-14 静止质量为M0的粒子在静止时衰变为静止质量为m10和m20的两个粒子。试求静止质量为m10的粒子的能量E1和速度v1。 [解] 根据动量、能量守恒定律列出方程 ?m10c2m20c22??M0c?22??v1??v2?1???1??????c??c??m20v2?0?m10v1?22?vv?????1??1?1??2???c??c??令?1?v1c、?2?v2c，上两式化为 ?1??2? m10m20?M???0221??11??2??m10?1m20?2?0??22?1??1??12??3??4? ?2?从(4)式得 2m201??1?m10?12?m10?122222??5? (5)式代入(3)式消去?2，经代数运算解出 ??2m10M0?1??1??222??M0?m10?m20??????2????12 7-35 ??2m10M0v1?c?1??222??M0?m10?m20??????2???? 12E1?m10c21??22?M02?m102?m202???2M0??2?c?? 第七章相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同. 1 目前可获得的极限真空为1.33?10?11Pa，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?（设温度为27℃） [解] 由理想气体状态方程 p?nkT 得 p?NkT， VpV1.33?10?11?1?10?6??3.21?103cm3 故 N??23kT1.38?10?300 2 使一定质量的理想气体的状态按p?V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的 BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线． （1）已知气体在状态A时的温度是TA?300K，求气体在B、C、D时的温度． （2）将上述状态变化过程在 V?T图（T为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向． [解] （1）由理想气体状态方程一等压过程中 pV?恒量，可得A→B这TVAVB? TATB则 TB?VB20?TA??300?600K VA10因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则 TC?TB?600 K C→D为等压过程，则 VDVC? TDTCTD?VD20?TC??600?300K VC407-36 （2） VL40C3020DB100A300600TK 3 有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1 和N2个, 它们的方均根速率都是v0，求： （1）两部分的分子数密度和压强各是多少? （2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少? [解] （1）分子数密度 n1?N1N?21V1Vn2?N2N?22 V2V由压强公式： p?1nmv2 3可得两部分气体的压强为 222mN1v02mN2v01122 p2?n2mv0? p1?n1mv0?33V33VNN?N2（2） 取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为 n??1 VV混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为： ?N1?N2?mv0212 p?nmv?33V 4 在容积为2.5?10?3m3的容器中，储有1?1015个氧分子，4?1015个氮分子，3.3?10?7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强． [解] 由 p?nkT N1?N2?N3 V3.3?10?7N3??6.02?1023?9.933?1016 2N1?N2?N31?1015?4?1015?99.33?1015则 p?kT??1.38?10?23?433?0.25Pa ?3V2.5?10n? 5 有2?10?3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?102J．(作业 （1）试求气体的压强． （2）设有5.4?1022个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度． 7-3) 7-37 ikT （1） 2N理想气体的压强 p?nkT?kT （2） V2E2?6.75?1025由（1）、（2）两式可得 p?Pa ??1.35?10?35V5?2?10i2E2?6.75?102（2）由 E?N?kT 则 T???362K 5kN5?1.38?10?23?5.4?1022233又 w?kT??1.38?10?23?362?7.5?10?21J 22[解] （1）理想气体的内能 E?N? 6 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为 5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子? 这些分子的总平动动能是多少? 总 转动动能是多少? 总动能是多少? [解] 由理想气体状态方程 p?NkT 得 VpV5?10?6?1.013?105?10?10?612个 N???1.61?10kT760?1.38?10?23?300所以总的平均动能为： pV33335?10?6?1.013?105Et?NkT??kT?pV???10?10?6?1?10?8J 2kT222760将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为： pV25?10?6?1.013?105Er?NkT?kT?pV??10?10?6?0.666?10?8J 2kT760总动能 Ek?Et?Er?1.666?10?8J 7 某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试求： （1）质子的平均动能是多少电子伏? （2）质子的方均根速率是多少? [解] 质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能 E?33kT??1.38?10?23?108/1.602?10?19?1.29?104eV 223kT3?1.38?10?23?108v???1.57?106ms ?27mp1.673?102p质子的方均根速率为： 8 容器内某理想气体的温度T?273K，压强p?1.00?10?3atm,密度为1.25g/m3,求： （1）气体分子的方均根速率； （2）气体的摩尔质量，是何种气体? （3）气体分子的平均平动动能和转动动能； 7-38 （4）单位体积内气体分子的总平动动能； （5）气体的内能．设该气体有0.3mol．(作业[解] （1）由 pV??RT 所以 7-5) 3p3kT3?1.00?10?3?1.013?105v????493ms ?3m?1.25?102（2） 气体的摩尔质量 Mmol?N0m?N0?kTp ?6.02?10231.25?10?3?1.38?10?23?273??0.028kgmol ?351.00?10?1.013?10所以该气体是N2或CO （3）气体分子的平均平动动能 ??kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J 气体分子的转动动能 3232?2?kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J （4）单位体积内气体分子的总平动动能 22E?n?1?p333?kT?p??1.00?10?3?1.013?105?1.52?102Jm3 kT222（5）该气体的内能 i5E?0.3Emol?0.3?RT?0.3??8.31?273?1.70?103J 22 9 容积为10?10?3m3的容器以速率200ms匀速运动，容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界 没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子． [解] 由能量守恒定律知 又因 ?Ek?1Mv2??Ek 2MiM5R?T?R?T Mmol2Mmol2Mmol2mv23.35?10?27?4?104所以 ?T?v???1.94K 5R5k5?1.38?10?23N由 p?kT VNMk?T50?10?3?1.38?10?23?1.94?p?k??T???4.0?104Pa ?27?3VmV3.35?10?10?107-39 10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）? [解] 由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和1mol水蒸气的内能 E1?1mol氧气．设温度为T， 26RT?3RT 251mol氢气的内能 E2?RT 21155mol氧气的内能 E3??RT?RT 22243所以 ?E?E2?E3?E1?RT 4所以内能增加的百分比为 ?E?100%?25% E1 11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比． [解] 根据题意，由麦克斯韦分布定律 ??N?m?2?4???e2kTv?v N?2?kT?32mv2又 vp?2kT m?N4?vpeN??v???vp?3?????2所以 v2?v??4??v?e????vp?2?v???vp?????2?v vp在vp附近，v?vp ?v???vp???vp??v????vp?p??0.02vp ?100?100?????N4??e?1?0.02?1.66% N? 12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义： （1） f(v)dv；（2） Nf(v)dv；（3） ?v2v1（4）f(v)dv； ?v2v1（5）Nf(v)dv； ?v2v1vf(v)dv． [答] f(v)表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比． （1） f(v)dv表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比； （2） Nf(v)dv表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数； （3） ?v2v1f(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内 7-40 的分子数占总分子数的百分比； （4） （5） ??v2v1v2Nf(v)dv表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数； vf(v)dv无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平均值 v1的贡献． 13 由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当v>2v0时，f(v)?0，求： （1）常数a； （2）速率大于v0和小于v0的粒子数； （3）分子的平均速率． [解] （1） 由归一化条件知曲线下的面积 1S?v0a?v0a?1 2所以 23 v0a?1 得到 a?3v02111v0a?，所以粒子数为 N1?N 32322v>v0时，曲线下的面积 S2? ，所以粒子数为 N2?N 33（2） v 由图知 f1?v??av f2?v??a v0所以 v?? v0022v0av0a3a211211vdv??avdv??v0?av0?v0 v0v03269214 容积为30?10?3m3 的容器中，储有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa．求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率． [解] 设容器内气体分子总数为N，则有N?该气体分子质量为 m?最概然速率为 pV kTMkT?M NpV2kT2kTpV2pV2?50.7?103?30?10?3????3.90?102ms vp??3mMkTM20?10平均速率为 7-41 8kT8kTpV8pV8?50.7?103?30?10?3????4.40?102ms v??3?m?MkT?M3.14?20?10方均根速率 3kT3kTpV3pV3?50.7?103?30?10?32v?????4.78?10ms mMkTM20?10?3215 质量为6.2?10?14g的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为1.40cm/s． （1）计算阿佛加德罗常数． （2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率． [解] （1）由方均根速率公式 v2?3RT3RT 得到 Mmol? 2Mmolv阿佛加德罗常数为 N0?Mmol3RT3?8.31?300???6.15?1023/mo l2mv2m?1.4?10?2??6.2?10?17（2） v?8RTRT?1.60 ?MmolMmol3RTRT?1.73 MmolMmol而 v2?所以 v? 1.6021.60v??1.40?10?2?1.29?10?2ms 1.731.731)． 2b?1?16 由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值?? ．(?v?mv?m??2kT2[解] 由麦克斯韦分布律f?v??4???ev 2?kT??322??0xe?bxdx?2?1?所以 ????v? ??01f?v?dv?v??01?m??mv?m?24???e2kTvdv?4???v?2?kT?2?kT??322322kT?2m???? 2m??kT?1217 大气压强随高度的变化规律为p?p0exp(?Mmolgh)．拉萨海拔约3600m，设大气温度RT为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是29?10?3kg/mol．海平面处大气压为1atm． [解] 拉萨大气压强为 p?1?e 7-42 ?29?10?3?9.8?36008.31?300atm?0.664atm 18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760 mmHg计，温度取273K）． ?Mgh?[证明] 因为大气压强随高度变化规律为 p1?p0exp??mol? RT???Mg?h??h??升高?h后大气压为 p2?p0exp??mol? RT??所以 ?Mgh???Mg?h???p?p2?p1?p0exp??mol??exp??mol??1?RTRT????????29?10?3?9.8?10????760?1??exp?????1???0.95mmHg8.31?273???? 19 重力场中粒子按高度的分布为n?n0e?mgh/kT．设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半． [解] 由p?nkT知，当大气压强减为原来的一半时，n?n02 由 n?n0e?mgh/kT得，e?mgh/kT?即 h?1 2ln2?kTln2?RTln2?8.31?300???6080m mgMmolg29?10?3?9.8 20 试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率．取分子的有效直径为 3.5?10?10m，空气平均摩尔质量为 29?10?3kg/mol．(作业 [解] 平均自由程 7-9) ??1?22?dnkT?22?dp2?3.14??3.5?101.38?10?23?273?102??1.013?105?6.84?10?8m 平均碰撞频率 z?2?d2vn?2?d2p8RT??MmolkT?2?3.14?3.5?10?10 ??2?1.60?8.31?2731.013?109?1??6.54?10s?3?2329?101.38?10?2735 21 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为v0，平均碰撞频率为z0，平均自由程为?0．若温度升高为4T0时，求v、z和?各是多少? 7-43 [解] 平均速率 v?8RT ?Mmol故当T?4T0时， v?28RT0?2v0 ?Mmol平均碰撞频率 z??d2vn 因为容器体积不变，分子数密度不变，所以 z??d2vn?2?d2v0n?2z0 平均自由程 ??12?d2n 由于n不变，所以 ???0 22 设气体放电管中气体分子数密度为n． 电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计．求电子与气体分子碰撞的平均自由程． [解] 因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效半径为d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为 1?d?Z????vn??d2vn 4?2?所以平均自由程为 ?? 23 在质子回旋加速器中，要使质子在1?105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K，空气分子的有效直径为3.5?10?10m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动． [解] 空气分子的有效直径为3?10?10m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为 ??d2? 22v4?2 Z?dn按题意，要求在体积V???d2?l l?1?105km 最多有一个分子才能满足条件，所以单 2??位体积内空气分子数为 n?14?2 V?dl44?1.38?10?23?300?10?4.31?10Pa 所以空气压强为 p?nkT?2kT?2?dl3.14??3.5?10?10??1087-44 24 真空管的线度为10?2m，其中真空度为1.33?10?3Pa，设空气分子的有效直径为 3?10?10m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率． [解] 由 p?nkT 知 p1.33?10?3n???3.21?1017/m3 ?23kT1.38?10?300平均自由程 ??11?m?7.79m 22?d2n2?3.14??3?10?10??3.21?1017而真空管的线度为10?2m，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为 10?2m． 平均碰撞频率 由 ??v知 ZZ?v??8RT18?8.31?300??102?4.68?104s?1 ?3?Mmol?3.14?29?10第八章 相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同. 1 一系统由图示的状态a经acb到达状态b，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J．（1） 若adb过程系统对外作功 42J，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b沿曲线ba返回状态a，外界对系统作功84 J，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少? [解] 由热力学第一定律Q??E?A 得 ?E?Q?A 在acb过程中， Eb?Ea??E?Q1?A1?320?126?194J 在adb过程中，内能变化量与acb过程相同 因此 Q2??E?A2?194?42?236J 在ba过程中 Q3?Ea?Eb?A3???E?A3??194?84??278J 由于热量为负值，所以本过程中系统放热． 2 2mol氮气由温度为 300K，压强为1.013?105Pa （1atm）的初态等温地压缩到 2.026?105Pa（2atm）．求气体放出的热量． [解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以 7-45 QT?A??RTlnp11?2?8.31?300?ln??3.46?103J p22即气体放热为3.46?103J． 3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示．试证此直线表示等压过程． [证明] 设此直线斜率为k，则此直线方程为E?kV 又E随温度的关系变化式为 E?MCv?T?k?T Mmol所以 kV?k?T Vk???C（C为恒量） TkpV又由理想气体的状态方程知，?C? （C?为恒量） T因此 所以 p为恒量，即此过程为等压过程． 4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：（1）沿l→m→2路径．（2）1→2直线．试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化． [解] （1） 在1→m→2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功． A1??p2?V1?V2???20??50?10??1.013?105?10?3??8.10?104J 由气体的内能公式E??CVT和理想气体的状态方程pV??RT得 E??CVpVpVCV???RRpViR2?ipV R2对于氧气i?5，所以其内能的变化为 ?E1?5?p2V2?p1V1??5??20?10?5?50??1.013?105?10?3??1.27?104J 22此过程吸收的热量为 Q1??E1?A1??1.27?104?8.10?104??9.37?104J （2）在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为 A2??1?p2?p1??V1?V2???1??20?5???50?10??1.013?105?10?3??5.07?104J 22内能的变化 ?E2??E1??1.27?104J 吸收的热量 Q2??E2?A2??1.27?104?5.07?104??6.34?104J 7-46 5 10mol单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J，其温度上升1K，试求：（1）气体吸收的热量与内能的增量．（2） 此过程中气体的摩尔热容量． 3?8.31?1?124.65J 2气体吸收的热量 Q??E?A?124.65?209??84.35J [解] （1） 内能的增量为 ?E??CV?T?10?（2） 由气体摩尔热容量知 C? 6 将压强为1atm，体积为1?10?3m3的氧气（CV?5R2）从0℃加热到100℃．试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量． 1Q1????84.35???8.44J?mol?K? ??T10pVp0V?[解] 由理想气体状态方程 pV??RT ?? RTRT0在等容过程中吸收的热量为 p0V0551.013?105?1?10?3R?T???100?92.77J QV??CV?T?RT022273在等压过程中吸收的热量为 Qp??Cp?T?? 777R?T?QV??92.77?129.88J 2557 已知氩气的定体（积）比热为cV?314J?kg?K?，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量．（定体（积）摩尔热容CV?MmolcV）． i3R?R 223RCV2因此 Mmol? ?cVcV[解] 由定容摩尔热容量的定义知 CV?氩原子的质量为 m? 8 为测定气体的?（?CpCV）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为T0、V0和p0，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积V0不变，而温度和压强变为T1和p1．第二次保持压强p0不变，而温度和体积变为T2和V1．试证明 ??MmolNA3R38.312????6.59?10?26kg 23NAcV26.02?10?314?p1?p0?V0?V1?V0?p0 7-47 [证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为Q1??CV?T1?T0? 等压过程吸收的热量为 Q2??Cp?T2?T0? 由 Q1?Q2可得 ?CV?T1?T0???Cp?T2?T0? 所以 ??CpCV?T1?T0 T2?T0由理想气体状态方程 p0V0??RT0 p1V0??RT1 p0V1??RT2 因此 T1?T0?p1?p0V?V0V0 T2?T0?1p0 ?R?R所以得到 ?? ?p1?p0?V0 ?V1?V0?p09 已知1mol固体的状态方程为v?v0?aT?bp，内能E?cT?apT，式中v0、a、b、c均为常量，求该固体的Cp、CV． [解] 由热力学第一定律可得 dQ?dE?dA?dE?pdV （1） 由已知条件可得 dV?adT?bdp （2） dE?cdT?aTdp?apdT （3） 将（2）、（3）代入（1）得 dQ?cdT?aTdp?apdT?p?adT?bdp? （4） 在等压过程中，dp?0 所以 dQ??c?2ap?dT 因此 Cp?在等容过程中 dV?0 代入（2）式得 adT?bdp?0 因此 dp??代入（4）式得 dQ?c?2ap dTadT b???dT ??a2T?a??a???adT?b???dT???c?ap? dQ?cdT?aT???dT?apdT?p????b?b??b????dQa2T所以 CV? ?c?ap?dTb a10 已知范德瓦尔斯气体的内能E?CVT??E0．其中CV、a、E0为常数，试证明其绝 V热过程方程为T?V?b?RCV?常数 7-48 a?[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为 ?p?2V?又由已知条件可得 dE?CVdT????V?b??RT （1） ?adV （2） 2V绝热过程 dQ?0，由热力学第一定律得 dE??dA??pdV （3） 由（2）、（3）式可得 CVdT?由 （1）式可得 p?adV??pdV （4） V2RTa?2 （5） V?bVaaRT将（5）代入（4）式有 CVdT?2dV?2dV?dV V?bVVC1整理得 VdT??dV RTV?bC积分得 VlnT?ln?V?b??常数 R即 ?V?b?TCVR?常数 这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程． 11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率． [解] （1） 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为 1S??p2?p1??V4?V1? ??10?5???5?1??105?10?3?2.0?103J 该循环对外作功为正，所以 A?2.0?103J （2） 该循环过程中，从1→2，2→3为吸收热量过程 1→2为等容过程，吸收热量为 Q1??CV?T2?T1??5?p2V2?p1V1? 2?5??10?1?5?1??105?10?3?1.25?103J 27?p3V3?p2V2? 22→3为等压过程，吸收热量为 Q2??Cp?T3?T2???7??10?5?10?1??105?10?3?1.4?104J 2因此吸收的总热量为 Q?Q1?Q2?1.525?104J 7-49 A2.0?103该循环的效率为 ????100%?13.1% 4Q1.525?10 12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为?T1,V1?，点b的状态参量为?T2,V2?，理想气体的热容比为?，求（1）气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c的状态参量；（3）循环的效率． [解] （1） ab过程是等温过程，系统吸收热量为 QT?A??RT1lnV2 V1因V2?V1，故该过程是吸热过程． bc过程是等容过程，系统吸收热量为 QV??CV?Tc?T2? 因 Tc ?V1?又 ac为绝热过程，故根据绝热方程 Tc???V???c?又有 pcVc?p1V1 ????1?V1?T1???V???2???1T1 ?V1??V1??RT1?RT1?V1????得到 pc?p1??V??V??V?V??V??12?2??2??2?????1 （3） ??1?QVQT????1?C1??VV???1??CV?T2?TC?CVT2??V1V2?T112? ?1??1??1??V?VVV2?R??RT1ln2RT1ln2ln??V1V1V1???? 13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab、cd为绝热线，bc为等体（积） 线，da为等压线，试证明其效率为 ??1??Td?Ta Tc?Tb式中Ta、Tb、Tc、Td分别为a、b、c、d各状态的温度， ??CpCV． 7-50