(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为m∥n,所以asin B-√3bcos A=0. 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0. 又sin B≠0,从而tan A=√3. 由于0 (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=√7,b=2,A=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3. 故△ABC的面积为bcsin A=123√3. 2π π 27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC的长; (2)求sin 2C的值. 【解析】(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,所以BC=√7. (2)由正弦定理知, ABBCABsinC12= BC , sinA所以sin C=·sin A=2sin60°√7=7. √21因为AB 77因此sin 2C=2sin C·cos C=2× √21×7=7. 7π 2√74√328.(2015·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan(4+A)=2. (1)求 sin2A 的值; sin2A+cos2Aπ (2)若B=4,a=3,求△ABC的面积. 【解析】(1)由tan(4+A)=2,得tan A=, 所以 sin2Asin2A+cos2A 13π 13=2tanA+1=5. 10 10 2tanA2 (2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=√10,cos A=3√10. 又由a=3,B=4及正弦定理 π asinA=sinB,得b=3√5. b 由sin C=sin(A+B)=sin(A+4)得sin C=2√5. 5π 设△ABC的面积为S,则S=absin C=9. 29.(2015·天津·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3√15,b-c=2,cos A=-. (1)求a和sin C的值; (2)求cos(2A+6)的值. 【解析】(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=√15.由S△ABC=bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,解得 4241 1 π 1 4 12b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8. 由sinA=sinC,得sin C=√15. 8a c (2)cos(2A+6)=cos 2A·cos6-sin 2A·sin=(2cosA-1)-×2sin A·cos A=√15-7√3. 26216 2 ππ π√31 30.(2015·全国2·文T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. (1)求 sinB ; sinC(2)若∠BAC=60°,求∠B. 【解析】(1)由正弦定理得 ADsinBADsinC= BD , sin∠BADDC =sin∠CAD. 因为AD平分∠BAC,BD=2DC, 所以 sinBsinC=BD=2. DC1 (2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin C=sin(∠BAC+∠B) =√3cos B+sin B. 212由(1)知2sin B=sin C,所以tan B=√3,即∠B=30°. 331.(2015·安徽·理T16)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3√2,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 4【解析】设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c. 由余弦定理得a=b+c-2bccos∠BAC=(3√2)+6-2×3√2×6×cos=18+36-(-36)=90, 2 2 2 2 2 3π 3π4所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B= π bsin∠BAC a= 33√10=10, ABsinB 6sinB √10=2sinBcosB=由题设知0 3 cosB=√10. 32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C和BD; (2)求四边形ABCD的面积. 【解析】(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ② 由①,②得cos C=,故C=60°,BD=√7. (2)四边形ABCD的面积 S=AB·DAsin A+BC·CDsin C =(2×1×2+2×3×2)sin 60° =2√3. 33.(2014·浙江·理T18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cosA-cosB=√3sin 2 2 1 2121211 Acos A-√3sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=,求△ABC的面积. 【解析】(1)由题意得1+cos2A?1+cos2B=√3sin 2A-√3sin 2B,即√3sin 2A-cos 2A=√3sin 2B-cos 2B, 22222212 12 45sin(2A-6)=sin(2B-6), 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π), 得2A-6+2B-6=π,即A+B=,所以C=3. π π 2π3π ππ (2)由c=√3,sin A=,=sinC,得a=5. 5sinA由a 103 54ac8 所以△ABC的面积为S=acsin B= 128√3+18. 25 34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC中,内角A,B,C的对边 ????? ·????? =2,cos B=1,b=3.求: 分别为a,b,c,且a>c.已知BABC 3(1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. ????? ·BC????? =2,得c·acos B=2. 【解析】(1)由BA又cos B=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. ac=6, 解{2得a=2,c=3或a=3,c=2. a+c2=13,因a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,sin B=√1cos2B=√1(1)=2√2,由正弦定理,得sin C=bsin B=×=9. --3333因a=b>c,所以C为锐角, 因此cos C=√1sin2C=√1(4√2)=7. --99于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =1×7+2√2×4√2=23. 3939272 21 3c 22√24√235.(2014·天津·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=b,sin B=√6sin C. 6(1)求cos A的值; (2)求cos(2A-6)的值. 【解析】(1)在△ABC中,由 bsinBπ √6=sinC, c 及sin B=√6sin C,可得b=√6c.