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(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
【解析】解法一(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1=A1B1=2所以A1
,
+A=A,故AB1⊥A1B1.
,由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2
,
由BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1⊥BC,CC1⊥BC,得B1C1=由CC1⊥AC,得AC1=,所以A+B1=A,
故AB1⊥B1C1.因此AB1⊥平面A1B1C1.
(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.
由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1,
由C1D⊥A1B1,得C1D⊥平面ABB1,所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角. 由B1C1=,A1B1=2
,A1C1=,
得cos∠C1A1B1=,sin∠C1A1B1=,
所以C1D=,故sin∠C1AD=.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
解法二(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,
,1).
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因此由
=(1,,2),=(1,,-2),=(0,2,-3).由=0,得AB1⊥A1B1.
=0,得AB1⊥A1C1.
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ. 由(1)可知
=(0,2,1),=(1,,0),=(0,0,2).
设平面ABB1的法向量n=(x,y,z).
由可取n=(-,1,0).所以sin θ=|cos<,n>|=.因此,直
线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
17.(2018·上海·T17)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2. (1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.
【解析】(1)∵圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为4,
∴圆锥的体积V=πr2h=×π×22×.
(2)∵PO=4,OA,OB是底面半径,且∠AOB=90°,M为线段AB的中点,∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
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∴P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),
∴=(1,1,-4),=(0,2,0).
设异面直线PM与OB所成的角为θ,
则cos θ=.
∴θ=arccos.
∴异面直线PM与OB所成的角的大小为arccos.
18.(2017·北京·理T16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=(1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
,AB=4.
【解析】(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME. 因为PD∥平面MAC,
平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME. 因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点. 所以M为PB的中点.
(2)解取AD的中点O,连接OP,OE. 因为PA=PD,所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP?平面PAD,所以OP⊥平面ABCD. 因为OE?平面ABCD,所以OP⊥OE. 因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD. 如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,
),D(2,0,0),B(-2,4,0),
=(4,-4,0),=(2,0,-).
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设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=1,z=.
于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).所以cos
由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.
(3)解由题意知M,C(2,4,0),.
设直线MC与平面BDP所成角为α,
则sin α=|cos
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
19.(2017·全国1·理T18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD. 由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
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