2020届高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量专题7.7利用空间向量求夹角与距离距离供选用练习含解析

专题7.7 利用空间向量求夹角和距离(距离供选用)

【考点聚焦突破】

考点一 用空间向量求异面直线所成的角

【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ) A.3 2

B.

15 5

C.

10 5

D.3 3

(2)(一题多解)(2019·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( ) 5A. 8

3B. 4

7C. 8

1D. 4

【答案】 (1)C (2)A

【解析】 (1)法一 以B为原点,建立如图(1)所示的空间直角坐标系.

图(1)

则B(0,0,0),B1(0,0,1),C1(1,0,1).

又在△ABC中,∠ABC=120°,AB=2,则A(-1,3,0). →→

所以AB1=(1,-3,1),BC1=(1,0,1), 则cos〈AB1,BC1〉=

→→|AB1|·|BC1|=

(1,-3,1)·(1,0,1)

5·2

10=,

55·2

10. 52

AB1·BC1

→→

因此,异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

法二 将直三棱柱ABC-A1B1C1补形成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图(2)),连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1.

1

图(2)

则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角),易求得AB1=5,BC1=AD1=2,B1D1=3. 由余弦定理得cos∠B1AD1=

10. 5

(2)法一 取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D,连接PD,则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB=a,则PB=BD=a,PO=PD=

3

a,所以2

a2+a2-?

cos ∠PBD=

?3?

a??2?

2

2×a×a5=. 8

法二 如图,取BC的中点O,连接OP,OA,因为△ABC和△PBC均为等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即∠POA=120°,建立空间直角坐标系如图所示.

设AB=2,则A(3,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P?-3?→→?3

所以AC=(-3,-1,0),PB=?,1,-?,

2??2

55→→

cos 〈AC,PB〉=-,所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.

88法三 如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA,

?

?33?,0,?, 22?

2

因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形,所以AO⊥BC,PO⊥BC,所以∠POA就是二面角的平面角,设AB→→→→→→

=2,则AC=OC-OA,PB=OB-OP, 5→→→→→→

故AC·PB=(OC-OA)·(OB-OP)=-,

2→→AC·PB5→→

所以cos 〈AC,PB〉==-.

→→8|AC|·|PB|5

即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.

8【规律方法】

1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方|v1·v2|

向向量v1,v2;(3)代入公式|cos〈v1,v2〉|=求解.

|v1||v2|

?π?2.两异面直线所成角的范围是θ∈?0,?,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的

2??

夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.

【训练1】 (一题多解)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为( ) 3

A. 5【答案】 C

【解析】 法一 如图,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接AC1,CB1,C1B′,易得MN∥AC1,

B.3

2

1C. 2

4D. 5

EF∥CB1∥C1B′,

那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1=2AB=2a, 则AC1=C1B′=3a,

3

连接AB′,则AB′=a+(22a)=3a, 由余弦定理得

(3a)+(3a)-(3a)1

cos ∠AC1B′==-.

22(3a)·(3a)1

故直线MN与EF所成角的余弦值为.

2法二 如图,连接AC1,C1B,CB1,

设C1B,CB1交于点O,取AB的中点D,连接CD,OD, 则MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,

那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角. 设AA1=2AB=2a,则AC1=CB1=3a, 于是OD=OC=又CD=

3a, 2

2

2

2

22

3a,于是△OCD为正三角形, 2

11

故∠DOC=60°,cos ∠DOC=,即直线MN与EF所成角的余弦值为.

22

法三 取AB的中点O,连接CO,则CO⊥AB,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2,则AA1=22,求得M(-1,0,2),

N?-,

?1

?233???1

,22?,E?,,0?,F(1,0,2), 2??22?

33?→?1?→?1

所以MN=?,,2?,EF=?,-,2?,

2?22??2?3

→→2MN·EF1→→

cos 〈MN,EF〉===.

→→3×32|MN|·|EF|考点二 用空间向量求线面角

【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

4

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