2020年九年级数学中考三轮冲刺复习:《四边形综合训练》(含解析)

在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形: ①如图③﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,

则∠Q=∠DPQ,

∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q, ∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2, ∴∠3=∠Q, ∴A′Q=A′B=3, ∴F′Q=F′A′+A′Q=

+3=

在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=∴DQ=BQ﹣BD=

﹣5;

②如图③﹣2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,

则∠2=∠P, ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠P, ∴BA′∥PD,

则此时点A′落在BC边上. ∵∠3=∠2, ∴∠3=∠1, ∴BQ=A′Q,

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∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ.

在Rt△BQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2, 即:()2+(解得:BQ=

﹣BQ)2=BQ2,

∴DQ=BD﹣BQ=5﹣

③如图③﹣3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,

则∠3=∠4.

∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,∴∠4=90°﹣∠2. ∵∠1=∠2, ∴∠4=90°﹣∠1.

∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1,

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1, ∴∠A′QB=∠A′BQ, ∴A′Q=A′B=3, ∴F′Q=A′Q﹣A′F′=3﹣

=.

在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=∴DQ=BD﹣BQ=5﹣

④如图④﹣4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,

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则∠2=∠3.

∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3, ∴∠1=∠4, ∴BQ=BA′=3,

∴DQ=BD﹣BQ=5﹣3=2.

综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使△DPQ为等腰三角形;DQ的长度分别为2或

7.如图,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=5,过点A作AC⊥BD,垂足为C,且AC=4,E是线段CD上一点,过E作EF⊥AD,垂足为F﹒ (1)请直接写出AD的长为

(2)如图1,若点F在∠ABD的角平分线上,求DF的长; (3)如图2,连接CF,点G为点A关于CF的对称点.

①连结DG,CG,当四边形CGDF中有两边互相平行时,求CE的长; ②连结AG交BD于点H,点H在点E的上方,若∠BAC﹣∠EAH=30°,则

解:(1)∵AC⊥BD,

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∴∠ACB=90°, ∵AB=5,AC=4, ∴BC=

=3,

∵∠ABC=∠ABD,∠ACB=∠BAD=90°, ∴△BAC∽△BDA, ∴==

=, ∴BD=,AD=.

故答案为.

(2)如图1中,作FH⊥BD于H.

∵∠FAB=∠FHB=90°,∠FBA=∠FBH,BF=BF, ∴△FBA≌△FBH(AAS), ∴AF=FH,BA=BH=5, ∵BD=, ∴DH=

﹣5=

,设AF=FH=x,则DF=

﹣x,在Rt△DFH中,∵DF2=DH2+FH2, ∴(

﹣x)2=(

)2+x2,

∴x=, ∴DF=

﹣=

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