高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
∑ 所以x＝1.55，y＝7.2，
7.75 36 23 21.312 5 ^所以b＝
i＝1
?xiyi－5x y?xi2－5x
5
2
5
23－5×1.55×7.2＝≈－3.53， 21.312 5－5×1.552i＝1
^^
a＝y－b x≈7.2＋3.53×1.55≈12.67.
^
故所求的y与x之间的回归方程为y＝－3.53x＋12.67.
错因分析 本题直接取已知数据求线性回归方程，没有画出散点图或求相关系数r进行相关性检验，而本题的两个变量恰好不具有线性相关关系．根据散点图可以发现样本点分布在某1
一条反比例函数曲线的附近，易知y与呈线性相关关系．
x
正解 根据收集的数据作散点图(如图(1)所示)．由图可知样本点分布在某一条反比例函数曲1
线的附近，令t＝，则原数据变为：
x
图(1)
t y 4 16 2 12 1 5 0.5 2 0.25 1 由散点图(如图(2)所示)可以看出y与t呈近似的线性相关关系．
图(2)
列表如下：
i 1 2 3 ti 4 2 1 yi 16 12 5 tiyi 64 24 5 t2i 16 4 1 高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
4 5 ∑ 所以t＝1.55，y＝7.2.
0.5 0.25 7.75 2 1 36 1 0.25 94.25 0.25 0.062 5 21.312 5 ^所以b＝
i＝1
?tiyi－5t y?t2i－5t
5
2
5
94.25－5×1.55×7.2
＝≈4.134 4， 21.312 5－5×1.552i＝1
^^
a＝y－b t≈7.2－4.134 4×1.55≈0.791 7. ^
故y与t之间的回归方程为y＝4.134 4t＋0.791 7， ^4.134 4
所以y与x之间的回归方程是y＝＋0.791 7.
x
点评 在解决回归分析的问题时，首先要对两个变量间的相关性进行分析，一要看它们是否相关，二要看它们是否是线性相关，如果它们不具有相关关系或不具有线性相关关系，即使求出线性回归方程，也没有任何意义．
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和面积 C．正n边形的边数和内角度数和 D．人的年龄和身高 答案 D
解析 函数关系就是一种变量之间的确定性的关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高．故选D. ^
2．设一个线性回归方程为y＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时( ) ^
A.y平均增加1.5个单位 ^
B.y平均增加2个单位 ^
C.y平均减少1.5个单位 ^
D.y平均减少2个单位
高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
答案 C
^
解析 由线性回归方程y＝2－1.5x中x的系数为－1.5，知C项正确．
3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) ^
A.y＝0.4x＋2.3 ^
C.y＝－2x＋9.5 答案 A
解析 因为变量x与y正相关，则在线性回归方程中，x的系数应大于0，排除C，D.将x＝3，y＝3.5分别代入A，B中的方程，只有A满足．故选A. 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x y 2 20 4 40 5 60 6 70 8 80 ^
B.y＝2x－2.4 ^
D.y＝－0.3x＋4.4
^^根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y＝10.5x＋a，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为( )
A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5 答案 C
^^^
解析 由已知得x＝5，y＝54，则(5,54)满足回归直线方程y＝10.5x＋a，解得a＝1.5，因^^
此y＝10.5x＋1.5，当x＝20时y＝10.5×20＋1.5＝211.5，故选C.
5．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
温度x 溶解度y 0 66.7 10 76.0 20 85.0 50 112.3 70 128.0 由此得到回归直线的斜率是________． 答案 0.880 9
11
解析 x＝×(0＋10＋20＋50＋70)＝30，y＝×(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
55
^
由公式b＝
i＝1
? ?xi－x??yi－y?
^
可得b≈0.880 9.
i＝1
5
? ?xi－x?2
5
回归分析的基本思路
高中数学人教版选修2-3专用同步作业解析（含答案）
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
^^^
(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y＝bx＋a)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；
(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等．
一、选择题
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数^
据(xi，yi)(i＝1,2，?，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D
^
解析 由回归方程为y＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关^^^^^^^
关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y＝bx＋a＝bx＋y－bx(a＝y－bx)，所以回归直线过样本点的中心(x，y)；利用回归方程可以估计总体，所以D不正确．
2．某商品的销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
^
A.y＝－10x＋200 ^
C.y＝－10x－200 答案 A
解析 结合图象(图略)，知选项B，D为正相关，选项C不符合实际意义，只有选项A正确． 3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元 支出y/万元 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8 ^
B.y＝10x＋200 ^
D.y＝10x－200