数列复习训练一

xy3

3、椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x

ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设11

直线PF1,PF2的斜率分别为k1、k2.若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值.

kk1kk2

xyb

解析:(1)由于c=a-b,将x=-c代入椭圆方程2+2=1,得y=±.

aba

2

2

2

2

2

2

22

2bc32

由题意知=1,即a=2b. 又e==,所以a=2,b=1.

aa2x2

所以椭圆C的方程为+y=1.

4

(2)设P(x0,y0)(y0≠0),又F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为lPF1:y0x-(x0+3)y+3y0=0, lPF2:y0x-(x0-3)y-3y0=0. 由题意知|my0+3y0|y+(x0+3)

20

2

2

=2

|my0-3y0|y+(x0-3)

所以

2

0

2

. |m+3|

|m-3|

x02

由于点P在椭圆上,所以+y0=1.

4

2

[来源:学科网ZXXK]?3??x0+2??2?

3-m

=2

?3?

?x0-2??2?

2

.

因为-3

m+3

333

,所以m=x0.因此-

42233

x0+22-x022

(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0). x??+y2=1,

联立得?4

??y-y0=k(x-x0),

整理得(1+4k)x+8(ky0-kx0)x+4(y0-2kx0y0+kx0-1)=0. x02

由题意Δ=0,即(4-x)k+2x0y0k+1-y=0. 又+y0=1,

4

20

2

20

2

2

2

2

2

22

2

x0222

所以16y0k+8x0y0k+x0=0,故k=-.4y0

[来源:Zxxk.Com]11x0+3x0-32x0

由(2)知+=+=,

k1k2y0y0y0

1111111?4y0?2x0

所以+=(+)=?-?·=-8,因此+为定值,这个定值为-8.

kk1kk2kk1k2?x0?y0kk1kk2

x2y2

4、已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,由四个点M(-a,b)、N(a,

abb)、F2和F1组成了一个高为3,面积为33的等腰梯形. (1)求椭圆的方程;

(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A,B,求△F2AB面积的最大值. 解 (1)由条件,得b=3,且

2

2

2a+2c

×3=33, 2

x2y2

所以a+c=3.又a-c=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆的方程+=1.

43(2)显然,直线的斜率不能为0,设直线方程为x=my-1,直线与椭圆交于

xy??4+3=1,

A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程?消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0, 因

??x=my-1,为直线过椭圆内的点,无论m为何值,直线和椭圆总相交. ∴y1+y2=

6m91

,y1y2=-2.S△F2AB=|F1F2||y1-y2|=|y1-y2| 223m+43m+4

22

2

2

=?y1+y2?-4y1y2=12m2+1

=4

?3m2+4?2m2+1

?m+1+1?2

3??

=4

21

m+1++

39?m2+1?

2

1

111

0,?时,函数单调递减,t∈?,+∞?函数单调递令t=m2+1≥1,设y=t+,易知t∈??3??3?9t增,所以当t=m2+1=1,即m=0时,ymin=

10

. S△F2AB取最大值3. 9

x2y23

5椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

ab2

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图,A、B、D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值. x2y2

6、 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2+2=1(a>b>0)右焦点的

ab1

直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为. (1)求M的

2方程;

(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ABCD面积的最大值.

x22

7、在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆+y=1有两个不

2同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常→→→

数k,使得向量OP+OQ与AB垂直?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由. x2

解 (1)由已知条件,直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程得+(kx+2)2=1,整理

212?2得??2+k?x+22kx+1=0.① 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中 12?222

+k=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范围是?-∞,-?∪Δ=8k2-4??2?222??→→

?2,+∞?. (2)设P(x,y),Q(x,y),则OP+OQ=(x+x,y+y) 由方程①得,

11221212

?2?-42k242kx1+x2=-, y1+y2=k(x1+x2)+22=+22.

1+2k21+2k2→→→42k42k2

∵(OP+OQ)⊥AB,∴(x1+x2)·(-2)+y1+y2=0,即:-·(-2)-+22=0.

1+2k21+2k2→→→221解得k=-,由(1)知k>,与此相矛盾,所以不存在常数k使OP+OQ与AB垂直.

42

x2y2

8、(2013·四川卷)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭

ab41?

圆C经过点P??3,3?. (1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且解 (1)由椭圆定义知2a=|PF1|+|PF2|=

211

,求点Q的轨迹方程. 2=2+|AQ||AM||AN|2?4+1?2+?1?2+?3??3??4-1?2+?1?2=22. ?3??3?

c12

所以a=2. 又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===. a22x22

(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y=1. 设点Q的坐标为(x,y).

2

(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为

?0,2-35?. (ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.

5??

因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则

222222

|AM|2=(1+k2)x1,|AN|2=(1+k2)x22. 又|AQ|=x+(y-2)=(1+k)x.

211

,得 2=2+|AQ||AM||AN|22

211211?x1+x2?-2x1x2

=.① 222+2, 即2=2+2=xx1x2x1x2?1+k2?x2?1+k2?x1?1+k2?x2

x22

将y=kx+2代入+y=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②

2

-8k36

由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>. 由②可知,x1+x2=2,x1x2=2,

22k+12k+1代入①中并化简,得x2=

18

.③

10k2-3

y-2

因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.

x336635?

由③及k2>,可知0<x2<,即x∈?-,0?∪?0,?. 又?0,2-满足10(y-2)2

222?5??2???-3x2=18,故x∈?-

?

66?

. ,

22?

由题意知点Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1, 又由10(y-2)2=18+3x2有 99?135?

,,且-1≤y≤1,则y∈?,2-(y-2)2∈?. ?54?5??2所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈?-

?

66?135?

,y∈?,2-. ,22?5??2

x2y23

9、椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x

ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,?连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.?设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明11+为定值,?并求出这个定值. kk1kk2[审题] 一审条件?:可设P点坐标为(x0,y0),写出直线l的方程 二审条件?:联立方程组消去y得关于x的一元二次方程,则Δ=0 111?11

+,把k与+均用x0,y0表示后可消去. 三审结论?:变为?k?k1k2?k1k2

33x22

-,?(过程略). 解 (1)椭圆C的方程为+y=1(过程略).(2)m的取值范围是??22?4x??4+y2=1,

(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立?整理得

??y-y0=k?x-x0?,

2222

(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y20-2kx0y0+kx0-1)=0.由题意,得Δ=0,即(4-x0)k+2x0y0k

2

+1-y20=0.

x2x002222

又+y2. 0=1,所以16y0k+8x0y0k+x0=0, 即(4y0k+x0)=0.故k=-44y0

11x0+3x0-32x0由椭圆C可得F1(-3,0),F2(3,0),又P(x0,y0),所以+=+=,

k1k2y0y0y011111??4y0?2x011

+=-所以+=?·=-8.因此+为定值,这个定值为-8.

kk1kk2k?k1k2??x0?y0kk1kk2

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