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故x??0?NDI8lk21222??0?NDI8(l?x)k2222??0?NDI8lk2222(1?2xl)(x??l)
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代入数据，得x?4.9mm。
类型六、运用微元法和节点定律解电路中的自感电动势的问题。
例7．如图11一7(a)所示的电路中，已知ε，R，r，L，电源内阻不计，电感内阻为r。问闭
合电键K后，有多少电量通过无电阻导线ab？
分析和解：当闭合电键K后，由于电感L的存在，支路ad段上的电流i2从零逐渐增大，直至电流达到稳定。当电流稳定时，电感中无感生电动势，所以节点a和b的电势相同，无电流流动。在电流达到稳定之前，支路ad和bc中电流不等，而由两个R并联的两支路中电流相等，所以将有电荷通过导线ab。
设自闭合K到电流稳定的过程中任一时刻，各支路中的电流如图11一7 (b)所示。由无阻导线ab相连的两点a和b电势始终相等。因此，流经R的电流应相等，即
i3?i4 ①
写出a点节点方程：
i3?i2?i ②
将每一时刻看成稳恒电流，得
2i3?i3?i4?i1?i2 ③
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K闭合后L上电流i2渐增，回路abcda有方程L即L?i2?t?(i1?i2)r ④
?i2?t?i2r?i1r?0
利用式②、③，得
i?i3?i2
i1?i2?2i3?2i2?2i ⑤
联立式④、⑤得到
L2r ⑥ ?i2?i?t从闭合K直至电流稳定，易知i2从零增加到
1??21(R?r)2??(R?r)
所以可以对式⑥两边整个过程求和，得到通过ab的电量： q?L??2r(R?r)
类型七、变化的磁场产生涡旋电场带电小球的切向作用力形成力矩的刚体的角动量问题。 例8．如图11—8所示，在一个半径为r，质量为m，可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘圆盘
中部有一细长螺线管，其半径为a，沿轴线方向单位长度上绕有 n匝线圈，线圈中通以稳恒电流I。在圆盘的边缘上均匀地嵌着 N个带等量正电荷q的小球。设开始时，螺线管中的电流为I， 圆盘静止，然后将电流切断，试求圆盘转动的角速度。
分析和解：设螺线管电流切断后，在Δt时间内电流从I减为零， 在此过程中任意时刻t的电流表示为i(t)，则在t时刻由i(t)产生 的磁场B(t)为 B(t)＝μ0 ni（t）
B的方向沿轴向，B(t)将随i(t)减小为零，变化的B(t)产生环状 涡旋电场，在r处的涡旋电场E(t)应满足 E（t）2?r=?=-???t????B（t）S??t??S?B（t）?（it）2???a?0n ?t?twww.ks5u.com 版权所有@高考资源网
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即E（t）=?a22r?0n?（it） ?t???（it）因i（t）随时间减小，的方向与电流的方向一致。 ?0。E(t)＞0。即涡旋电场E（t）?t在半径为r的圆周上嵌着的N个带电小球所受的总切向力为 F（t）=NqE（t）=?a22r?0nNq?（it） ?t它相对转轴形成的力矩为 M（t）=F（t）r=?12a?0nNq2?（it）?t
由刚体的角动量定理，在电流从I减小为零的Δt时间内，刚体所获得的全部冲量矩等于它的角动量的增量。因开始时刚体（圆盘）静止，角动量为零，故有
J?=?M?t?1（it）?1212??2a?0nNq????t??a?0nNq????（it）?a?0nNqI ?2?t2??212mr
2圆盘绕轴的转动惯量J为J=代入上式，得出电流降为零后，圆盘转动的角速度ω为?=类型八、超导框在非均匀磁场中振动的问题。
例9．有一边长为a的正方形小框，由不会发生形变的、
电阻为零的超导体材料制成，置于非均匀磁场中，
??B的三个分量为Bx?0，By??ay，Bz?B0?ax，式中a、B0为常量，线框的自感系
a?0nNqImr22。
数为L，质量为m，水平放置，如图11一9所示。
试确定小线框的运动规律，即在t时刻小线框所处的位置。设在t=0时，小线框的中心O在坐标原点。
分析和解：（1）与一般导体在非均匀磁场中运动时 情况不同，无论磁场均匀与否，超导体框内的磁通量恒保持不变。为了确定其值，我们可利用t=0时的?值即?0。
?B ?0（0?a0?）S?aB 02 （2）线框中电流强度的计算，小线框中电动势为零，但电流不为零，这是超导体一个特
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殊的电磁性质。怎样确定这个电流I的大小？这里的关键在于正确理解超导线框内的?0为什么不变。当线框从t=0受重力作用开始下滑，其外磁场通过线框的通量因z<0实际上是减小了，因而产生了感应电流，这个感应电流I的磁场是补偿线框回路中磁通量减小，所以线框内的总磁通量?0保持不变。
线框位置为z处时感应电流产生的磁通量?感应为?感应??a?z。 利用电流与磁通量成正比的关系有LI??a2?z，从而得到
?a?zL22I?，式中L为线圈的自感。
???? （3）线框受力分析，线框受到沿z轴负方向的力mg，线框中的电流受到外磁场作用的
安培力。Bz对线框产生的力，AB与CD边上受力大小相等，方向相反；BC边与DA边亦然，故合力为零，不影响线框的运动。而By对BC与DA两边无作用，只对AB边与CD边有安培力作用，二者大小相等，方向相同，系沿z轴正方向（因线框向下运动）且
F安?2a?a2I?a?I
2 （4）小框运动满足的方程
maz??mg?a?I
2maz??mg?42a?zL42
令k?a?L
则maz??mg?kz
上述方程与一个无重、劲度系数为k的弹簧，其下悬一质量为m的物体运动方程相同。因而可用类比法而求得线框位置z随时间变化的规律。
首先确定振动的平衡位置zo ,而且Zo的绝对值就是振幅，物体在平衡位置时，加速度az 等于零 a?L42z0??mg
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