正方形与全等模型(含答案)

点评: 此题考查了正方形,角平分线的性质,以及全等三角形判定与性质.此题综合性较强,注意数形结合思想. 9.如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=,Q为CD中点,则下列结论: ①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ;③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16; 其中正确结论的个数是( )

A. 4 考点: B.3 正方形的性质;全等三角形的判定与性质. 根据对角互补的四边形,则四边形共圆,根据圆周角定理得出∠BPC=∠BQC,根据∠PBC=∠PQD,过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线,推出正方形AEPM,根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1,证2 C. D.1 分析: 解答: △BEP≌△PFQ,推出PE=FQ=1,BP=PQ,求出DQ、DC,即可. 解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BCQ=90°, ∵PQ⊥PB, ∴∠BPQ=90°, ∴∠BPQ+∠BCQ=180°, ∴B、C、Q、P四点共圆, ∴∠PBC=∠PQD,∠BPC=∠BQC,∴①正确;③正确; 过P作PM⊥AD于M,PE⊥AB于E,PF⊥DC于F,则E、P、F三点共线, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=DC=BC,∠DAC=∠BAC,∠DAB=90°, ∴∠MAE=∠PEA=∠PMA=90°,PM=PE, ∴四边形AMPE是正方形, ∴AM=PM=PE=AE, ∵AP=, ∴在Rt△AEP中,由勾股定理得:22AE+PE=()2, 解得:AE=AM=PE=PM=1, ∴DF=1, 设AB=BC=CD=AD=a, 则BE=PF=a﹣1, ∵∠BEP=∠PFQ=∠BPQ=90°, ∴∠BPE+∠EBP=90°,∠EPB+∠FPQ=90°, ∴∠EBP=∠FPQ, 在△BEP和△PFQ中 , ∴△BEP≌△PFQ(ASA), ∴PE=FQ=1,BP=PQ,∴②正确; ∴DQ=1+1=2, ∵Q为CD中点, ∴DC=2DQ=4, ∴正方形ABCD的面积是4×4=16,∴④正确; 故选A. 本题考查了正方形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,勾股定理,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生的推理能力,题目综合性比较强,有一定的难度. 点评: 10.如图1,直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合,两直角边PE,PF分别和AB,AD所在的直线交于点E和F.易得△PBE≌△PDF,故结论“PE=PF”成立;

(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?说明理由;

(2)如图(3)将(2)中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变,若AB=m,BC=n,直接写出的值.

考点: 正方形的性质;垂线;全等三角形的判定与性质. (1)过点P分别作AB、AD的垂线,垂足分别为G、H,有材料提供的证明思路可证明△PGE≌△PHF,再根据全等三角形的性质:对应边相等可得:PE=PF; (2)有(1)证题思路可知方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变,则△PGE∽△PHF,再根据相似三角形的性质:对应边的比值相等分析: 可得:的比解答: 值. 解:(1)成立. 证明如下: 如图,过点P分别作AB、AD的垂线,垂足分别为G、H, 则∠GPH=90°,PG=PH,∠PGE=∠PHF=90°, ∵∠EPF=90°,

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