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例2. 若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0， x2＋(a－1)x＋a2＝0, x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
1?3??a??22?△1?16a2?4(?4a?3)?0??31?22,解得,即－ 3时，三个方程至少有一个方程有实根。 2【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ 1x?1 (其中x∈R且x≠)，证明：①.ax?1a经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2, 假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即＝x1－x2 ∵x1≠x2 ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。 ② 由y＝ x1?1x2?1＝，整理得a(x1－x2) ax1?1ax2?1y?1x?1得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝， ay?1ax?145 46 即原函数y＝ x?1x?1的反函数为y＝，图像一致。 ax?1ax?1x?1由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线 ax?1y＝x成轴对称图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。 1?|x|2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。 abc3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 。 224. 求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。 225. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。 A 6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相 应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能 垂直CF。 46 2 F D B M N E C 47 第二章 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 47 48 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 Ⅰ、再现性题组： 5. 设命题甲：0 A. 0 π7. 如果|x|≤,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) 42?12?11?2A. B. － C. －1 D. 2228. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 y?39. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那 x?2么M∪N等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 θθθ10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝1?sinθ,那么是 222_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 11. 已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3π,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) 4242445π12. 若复数z的辐角为，实部为－23，则z＝_____。 648