（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中． 由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=． 故直线F2P的方程为． 令x=0，解得．即点Q． 因此直线F1Q的斜率=． ∵F1Q⊥F1P，∴化为=． ． 联立，及x0＞0，y0＞0， 解得.． 即点P在定直线x+y=1上． 点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力． 19．（13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°， （1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）求cos∠COD．
考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD． 解答： （1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则 ∵AB∥CD，AB?平面PCD，∴AB∥平面PCD ∵AB?面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l ∵AB在底面上，l在底面外 ∴l与底面平行；
（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF 由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD ∵OP⊥底面，CD?底面，∴OP⊥CD ∵OP∩OF=O ∴CD⊥平面OPF ∵CD?平面PCD ∴平面OPF⊥平面PCD ∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF ∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角 由题设，∠OPF=60° 设OP=h，则OF=OPtan∠OPF= ∵∠OCP=22.5°，∴ ∵tan45°=∴tan22.5°=∴OC== =1 =2在Rt△OCF中，cos∠COF== ∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos∠COF﹣1=17﹣12 点评： 本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键． 20．（13分）（2013?安徽）设函数fn（x）=﹣1+x+（1）对每个n∈N+，存在唯一的xn
，满足fn（xn）=0；
），证明：
（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
考点： 反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 分析： 题干错误：n∈N+，应该是对每个n∈N+， （1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得fn（1）＞0，fn（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立． （2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn﹣xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的 解析式，变形可得xn﹣xn+p=综上可得要证的结论成立． +，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ，解答： 证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=﹣1+x+），可得 f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． ++…+＞0，即fn（1）＞0． 由于f1（0）=0，当n≥2时，fn（1）=又fn（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+?=﹣+×=﹣?＜0， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn+，满足fn（xn）=0． （2）对于任意p∈N，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+＞fn（x）， ∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0． 由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn﹣xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn﹣xn+p＞0． 由于 fn（x）=﹣1+xn+++…+=0 ①， fn+p （xn+p）=﹣1+xn+p+++…++[++…+]②， 用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得 xn﹣xn+p=+≤≤＜=＜． 综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜． 点评： 本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题． 21．（13分）（2013?安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 考点： 概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用． 专题： 综合题；分类讨论；转化思想；概率与统计． 分析： （I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概
率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解； （II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可． 解答： 解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣， 因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）=2 （II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1 当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（），当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数2为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为 P（X=M）== 当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）?m≤2k﹣ 假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）能被n+2整除时， 2k≤2k﹣达到最大值； ＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处当（k+1）不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[最大整数）， 下面证明k≤2k﹣＜t 2]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k 因此k≤2k﹣＜t 点评： 本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分