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二次函数
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a， b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，0? ?0，0? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a?0 向下 y轴
2. y?ax2?c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，c? ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． a?0 向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c．
3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。 a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． a?0
向下 ?h，0? X=h 4. y?a?x?h??k的性质：
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a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． a?0 向下 ?h，k? X=h
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得b?4ac?b2b4ac?b2?到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?222六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??当x??当x??b时，y随x的增大而减小； 2ab时，y随x的增大而增大； 2a4ac?b2b当x??时，y有最小值．
4a2a--
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?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，时，?．当x??4a?2a2a?2a4ac?b2bb． y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值
4a2a2a
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式（交点式）：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
2只有抛物线与x轴有交点，即b?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为0对称轴为y轴） 3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，其中的x1，x2是一元二
次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根．. ② 当??0时，图象与x轴只有一个交点；
③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
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二次函数对应练习试题
一、选择题
1. 二次函数y?x?4x?7的顶点坐标是( )
2
22A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y??2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. y??2(x?1) B. y??2(x?1) C. y??2x?1 D. y??2x?1 3.函数y?kx?k和y?2222k(k?0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x
4.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x?1和x?3时,函数值相等;③4a?b?0④当y??2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),
2由图象可知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的两个根分别是x1?1.3和x2?22（ ）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限 7.方程2x?x?22的正根的个数为（ ） xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. y?x?x?2 B. y??x?x?2
C. y?x?x?2或y??x?x?2 D. y??x?x?2或y?x?x?2
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222222