第18讲 导数与函数的综合问题
夯实基础 【p39】
【学习目标】
掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力．
【基础检测】
e1．函数f(x)＝－2，若存在x0∈(0，2]使得m－f(x0)>0成立，则实数m的取值范
1＋x围是( )
x
?12?A.?－e，＋∞? B．(－1，＋∞) ?5??1?C．(1，＋∞) D.?－e，＋∞?
?2?
【解析】若存在x0∈(0，2]使得m－f(x0)>0成立， 则在x∈(0，2]内f(x)min ee（1＋x）－e·2xe（x－1） f(x)＝－＝－2，f′(x)＝－2222≤0， 1＋x（1＋x）（1＋x）故f(x)在(0，2]上单调递减， 1212 f(x)min＝f(2)＝－e，∴m>－e. 55【答案】A 2．若函数f(x)＝xe－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( ) 2x x x 2 x x 2 ?4??4?A.?2，＋∞? B.?0，2? ?e??e? C．(0，4e) D．(0，＋∞) 1 2 【解析】函数y＝xe－a的导数为y′＝2xe＋xe＝xe(x＋2)， 令y′＝0，则x＝0或－2，当－2＜x＜0上时，y′<0，函数单调递减，当x∈(－∞，－2)或(0，＋∞)时，y′>0，函数在两个区间上单调递增， ∴函数f(x)在x＝－2处取极大值，在x＝0处取极小值，函数的极值为：f(0)＝－a，f(－2)＝4e－a， 已知函数f(x)＝xe－a恰有三个零点， 2x －2 2xx2xx ?4?－2 故－a<0，且4e－a>0，解得实数a的取值范围是?0，2?. ?e? 【答案】B 3．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数113 解析式为y＝x－x＋18(0＜x≤120)．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低， 81 00010则汽车匀速行驶的速度应为( ) A．60千米/时 B．80千米/时 C．90千米/时 D．100千米/时 200 【解析】当速度为x千米/小时时，时间为小时， x ?1x3－1x＋18?·200＝1x2＋3 600－20(0＜x≤120)， 所以f(x)＝??x40510x?81 000? 23 6002x－2×90所以f′(x)＝x－2＝(0＜x≤120)， 2405x405x令f′(x)＝0，∴x＝90. 当x∈(0，90)时，函数f(x)单调递减，当x∈(90，120)时，函数f(x)单调递增． 所以x＝90时，函数f(x)取得最小值． 【答案】C 4．已知表面积为100π的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为( ) 2 3 3 A. 4 0004 0004 0004 000 π B.π C.π D.π 24381279 2 【解析】设球的半径为R，内接圆锥的底面半径为r，高为h，由题意知，4πR＝100π，解得R＝5，则球心到圆锥底面的距离为25－r(0 锥的体积为V＝πr(5＋25－r)，设t＝25－r(0＜t＜5)，则V＝π(25－t)(5＋t) 33111322 ＝π(－t－5t＋25t＋125)(0 33381 【答案】B 5．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则( ) A．3f(1) 2 2 【解析】由于f(x)>xf′(x)，则?在R上是单调递减函数， f（x）?f（x）?′＝xf′（x）－f（x）<0恒成立， 因此?2 xx?x? ∴ f（3）f（1） 3 <1 ，即3f(1)>f(3)． 【答案】B 【知识要点】 1．优化问题 与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题． 2．导数在优化问题中的应用 3 3．导数与不等式 (1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明． (2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值． 4．导数与方程 方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数． 典例剖析 【p39】 考点1 利用导数研究生活中的优化问题 例1如图(1)是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r分米的半圆和矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图(2)．为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y百元． (1)写出y关于r的函数解析式； (2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？ ?12?32 【解析】(1)由题知4＝4r?πr＋2ar?＝2πr＋8ar， ?2? 4－2πr2－πr ∴a＝＝. 22 8r4r 4 3 3