概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布
习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出X随机变量的分布律.
解：X可以取值3，4，5，分布律为
21?C23C5P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?
?11021?C33C5P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610
P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X： 3， 4，5 P：
21?C43C5136 ,,101010习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为
1?p(0?p?1).
（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律.（此时称X服从以p为参数的几何分布.）
（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律.（此时称
Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.）
（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
解：（1）P (X=k)=qk1p
－k=1,2,??
（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}
P(Y?r?n)?Crn?n?1qnpr?1p?Crn?n?1qnpr, （3）P (X=k) = (0.55)k－10.45
??n?0,1,2,?,其中 q=1－p，
r?1rk?r,k?r,r?1,? 或记r+n=k，则 P{Y=k}=Ck?1p(1?p) k=1,2…
2k?1P (X取偶数)=
?P(X?2k)??(0.55)k?1k?10.45?11 31习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以
1
Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。
解：（1）X的可能取值为1，2，3，?，n，?
P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}
21 =()n?1?， n=1，2，??
33（2）Y的可能取值为1，2，3
1 3 P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}
P {Y=1}=P {第1次飞了出去}= =
211?? 323 P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}
2!1? 3!3 =
习题2-4 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.
习题2-5 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次. 求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.
记X表甲三次投篮中投中的次数 Y表乙三次投篮中投中的次数
由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。
P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)
= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)
11?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2] = (0.4)3× (0.3)3+ [C322?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3 ?[C3 ?(0.7)3?0.321
2
（2）甲比乙投中次数多的概率。
P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
12=[C3?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8?
22123 [C3?(0.6)?0.4]?[C3?0.7?(0.3)]?(0.6)
1?(0.3)3?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3
?[C3?(0.7)?0.3]?0.243
习题2-6 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲
种酒全部挑出来，算是试验成功一次.
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）.
解：（1）P (一次成功)=
2211 ?470C83（2）P (连续试验10次，成功3次)= C10(136973。此概率太小，按实际)()?707010000推断原理，就认为他确有区分能力。
习题2-7 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）某
一分钟恰有8次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤次数大于3的次数。
（1）每分钟恰有8次呼唤的概率 法一： 法二：
48?4P(X?8)?e?0.029770（直接计算）
8!P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。
= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）
习题2-8 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间（以分
?1?e?0.4x,x?0,至多3分钟?；计），X的分布函数是FX(x)??求下述概率：（1）P?（2）
x?0.?0,P?至少4分钟?；
（3）P3分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟；（5）P恰好2.5分钟。
?????? 3
解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =FX(3)?1?e?1.2 （2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =1?FX(4)?e?1.6
（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3 习题2-9 某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度 ?1000,?f(x)??x2?0,?x?1000,其它 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？ 解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为 P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000?1000(?1)1500?dx?1???x1000??x2 令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，321??11P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()5?C5?()?()4?33??3 1?5?211232?1??1??52432433习题2-10 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概 x?1?1?e5,x?0,率密度为fX(x)??5 ?0,其它?某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一 Y?1?. 个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P?解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为 ???1???5P(X?10)?fX(x)dx?edx??e510?e?2 10510?5?因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5 ?k?15P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?1?(1?)?1?(1?0.1353363)57.389 5?1?0.8677?1?0.4833?0.5167.????xx 4