32. 设A,B是数域P上的n阶方阵，如果线性方程组Ax?0和Bx?0同解，且每个方程组的基础解系都含m个线性无关的向量. 证明：R(A?B)?n?m.
33. 设A是秩为r的m?n矩阵，求证：必存在一个秩为n?r的n?(n?r)的矩阵B，使得AB?0
34. 设A是秩为r的m?n矩阵，?1,?2,?,?n?r与?1,?2,?,?n?r是齐次线性方程组Ax?0的两个基础解系，求证：必存在n?r阶可逆矩阵Q，使得
(?1,?2,?,?n?r)?(?1,?2,?,?n?r)Q.
35. 设线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a12x1?a22x2???a2nxn?0,??......?an?1,1x1?an?1,2x2???an?1,nxn?0?
的系数矩阵为
?a11?a21A???......??a?n?1,1a12a22an?1,2........................a1n??a2n?. ......??an?1,n??设Mi是矩阵A中划去第i列剩下的(n?1)?(n?1)矩阵的行列式.
(1) 证明：(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)是方程组的一个解；
(2) 如果A的秩为n?1，则方程组的解全是(M1,?M2,?,(?1)n?1Mn)的倍数.
第四章 线性变换
1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：
(1) 在线性空间V中，A(?)????，其中??V是一固定的向量； (2) 在线性空间V中，A(?)??，其中??V是一固定的向量；
(3) 在线性空间Pn[x]中，Af(x)?f?(x)；
(4) 在线性空间P3中，A(x1,x2,x3)?(x12,x2?x3,x32)；
A(x1,x2,x3)?(0,x1x2x3,0)；
A(x1,x2,x3)?(x1?x2,x2?x3,x3?x1)； A(x1,x2,x3)?(0,x1?x2?x3,0)；
(5) 在Pn?n中，A(X)?AXB, 其中A,B是Pn?n中两个固定的矩阵. 2. 设A是数域P上线性空间V上的线性变换，W1,W2是V的两个子空间，且有V?W1?W2.证明：A可逆的充分必要条件是V?A(W1)?A(W2).
3. 证明：1,x?1,x2?x?1是线性空间P3[x]的一组基. 并求出线性变换
Af(x)?f?(x)
在这组基下的矩阵.
4. 在P2?2中定义线性变换
?aA1(X)???c?aA2(X)?X??c?aA3(X)???cb??Xd?；
b??； d?b??d?b??a?X?d??c.
分别求出A1，A2，A3在基I11,I12,I21,I22下的矩阵.
5. 设在数域P上的三维线性空间V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为
?a11?A?a21??a?31a12a22a32a13??a23. ?a33??求
(1) A在基?3,?2,?1下的矩阵；
(2) A在基?1,k?2,?3下的矩阵，其中k?P，且k?0； (3) A在基?1??2,?2,?3下的矩阵.
6.设A,B是线性变换，如果AB?BA=E, 证明：
AB?BAkk=kAk?1,k是大于1的正整数.
7.设n阶矩阵A和B相似，且A可逆. 则AB与BA相似.
8.设V是数域P上的二维线性空间，线性变换A在基?1,?2下的矩阵是
?2???11??. 0??1,?2也是V的一组基，且从基?1,?2到?1,?2的过渡矩阵为
?1???1?1??. 2??2求A在基?1,?2下的矩阵及???11??,k为正整数. 0?k9.证明：方阵
?a1??????ai1???? 与 ??????an?????? ?ain??a2?ai2?相似，其中i1,i2,?,in是1,2,?,n的一个排列.
10.如果A和B相似，C和D相似，证明
?A??00??C?与?B??00??D?
相似.
11. 设A是n维线性空间V的一个线性变换，且A在V中存在一组基，使得A在这组基下的矩阵是
?0?1??0????0?001?0?????000?10??0?0? ???0??n?1?0，An ?0. 证明：
12.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，线性变换A在基?1,?2,?3,?4下的矩阵是
?1??1??1??2022?221511??3?. 5???2?(1) 求A在基?1??1?2?2??4,?2?3?2??3??4,?3??3??4,?3?2?4下的矩
阵；
(2) 求A的值域与核；
(3) 在A的值域中选择一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；
(4) 在A的核中选择一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵.
13. 设A是有限维线性空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间. 证明：
dimA(W)?dim[A?1(0)?W]?dimW.
14. 设A,B是n维线性空间V线性变换. 证明：
AB的秩?A的秩+B的秩?n.
15. 设A1,A2,?,As是线性空间V的s个两两不同的线性变换，则在V中必存在向量?，使得A1(?),A2(?),?,As(?)也两两不同.
16. 设A,B是线性空间V线性变换，且A2=A ，B2=B. 证明：
(1) A,B有相同的值域?AB?B,BA?A； (2) A,B有相同的核?AB?A,BA?B. 17. 设A是n维线性空间V线性变换. 证明：
A的秩=A2的秩?V?A(V)?A?1(0)
18. 设W是线性空间V的一个子空间，A是V的一个线性变换. 证明：如果W是A的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A在这组基下的矩阵具有如下形状：
?A??0C??. B?W是V的子空间，19.设A是n维线性空间V的可逆的线性变换，且对于A不变.证明：W也是A?1的不变子空间.
220. 设A是n维线性空间V线性变换，且A(1) A?1=A. 证明：
(0)?{??A(?)|??V}；
(0)(2) 若B是V线性变换，则A是AB?BA
?1与A(V)都是B的不变子空间的充要条件
第五章 多项式