由已知及余弦定理得4=a+c-2accos.
2
2
π4
又a+c≥2ac,故ac≤2
2
4,当且仅当2-√2a=c时,等号成立.
因此△ABC面积的最大值为√2+1.
方法总结 求三角形面积的最值时,常利用基本不等式求两边之积的最值,从而确定面积的最值.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共35分)
1.(2019北京朝阳综合练习,4)在△ABC中,B=,c=4,cos C=,则b=( )
3
π6
√5A.3√3 B.3 C. D.
23答案 B
2.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,3)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=( ) A. B. C. D.1 答案 B
3.(2019上海嘉定(长宁)二模,16)对于△ABC,若存在△A1B1C1,满足一定满足( )
A.有一个内角为30° B.有一个内角为45° C.有一个内角为60° D.有一个内角为75° 答案 B
4.(2018河北衡水中学4月模拟,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+√3asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=,则△ABC的外接圆的半径为( )
3
√734
1
3
155935
cos??cos??cos??
===1,则称△ABCsin ??1sin ??1sin ??1
为“V类三角形”.“V类三角形”
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A
5.(2018山东济宁二模,12)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos B-bcos A=c,则tan(A-B)的最大值为( )
2√5 523A.
B. C. D.√3
53√5√3答案 A
6.(2019河南六市3月联考,10)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若A.4√3 B.2√3 C.3√3 D.√3 答案 A
7.(2019湘东六校3月联考,5)若△ABC的三个内角满足6sin A=4sin B=3sin C,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 答案 C
2??-??cos??
=,b=4,则△ABC??cos??的面积的最大值为( )
二、多项选择题(每题5分,共10分)
8.(改编题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
17
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为答案 ACD
9.(改编题)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.b=45,c=48,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=80° 答案 BC
8√7 7三、填空题(每题5分,共10分)
10.(2019安徽合肥二模,15)在锐角△ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的长的取值范围是 . 答案 [√3,√132
)
11.(2020届黑龙江双鸭山一中开学考,15)已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的北偏西65°方向且B到C的距离为√3 km,则A,B两船的距离为 . 答案 √13 km
四、解答题(共60分)
12.(2020届山东夏季高考模拟,18)在△ABC中,∠A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC. (1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB. 解析 (1)因为CD=BD,所以CD=BC. 由题设知DF=AC,CD·DF=AB·AC, 因此CD=AB.所以AB=BC,因此∠ABC=60°. (2)不妨设AB=1,由题设知BC=√2. 由BD=3CD得BD=
3√2√2,CD=. 443√2√34,BF=. 44
1212
12
12
由勾股定理得CF=由余弦定理得
917+8-25√17cos∠CFB=83√2=. √34512×4×413.(2020届山东济宁二中10月月考,19)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小;
(2)若a=√21,b+c=9,求△ABC的面积.
解析 (1)在△ABC中,cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A, 则由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cosA+3cos A-2=0,
2
即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=或cos A=-2(舍去). ∵0 (2)由余弦定理,得a=b+c-2bccos , 2 2 2 12 π3 π3 18 ∵a=√21,b+c=9, ∴21=b+c-bc=(b+c)-3bc,即21=81-3bc, 解得bc=20. ∴S△ABC=bcsin A=×20×=5√3. 22214.(2019上海浦东二模,18)已知向量m=(2sin ωx ,cos 2ωx),n=(√3cos ωx,1),其中ω>0,若函数f(x)=m·n的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=√3,sin B=√3sin A,求????? ????·????? ????的值. 解析 (1)f(x)=m·n=√3sin 2ωx+cos 2ωx =2sin(2????+), ∵f(x)的最小正周期为π,∴T= 2π =π,∴ω=1. 2?? π6 1 1 √32 2 2 (2)设△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c. ∵f(B)=-2,∴2sin(2??+)=-2, 即sin(2??+)=-1,解得B=. ∵BC=√3,∴a=√3,∵sin B=√3sin A, ∴b=√3a,∴b=3,由 π π √32π=sin??得sin 3π 6 π62π3 3 sin A=, 12 ∵0 3 ∴????? ????·????? ????=cacos B=-. 2 π 15.(2020届湖南长沙一中第一次月考,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(1)求角B; (2)求△ABC周长的最大值. 解析 (1)由即 cos????2??cos??sin??+cos??sin??2sin?? +=及正弦定理,得=, cos??????cos??sin??sin?? cos????2?? +=且cos??????b=4. sin(??+??)2sin?? =, cos??sin??sin?? 12 ∵sin(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B=. (2)在△ABC中,由余弦定理得b=a+c-2accos B=a+c-ac=16. ∴(a+c)=16+3ac≤16+3( 2 2 2 2 2 2 π3 ??+??2 ). 2 即a+c≤8,当且仅当a=c时取等号. ∴△ABC的周长=a+b+c≤12, ∴△ABC周长的最大值为12. 16.(2020届黑龙江哈师大附中9月月考,20)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 19 ??+?? =bsin A. 2 解析 (1)由asin ??2 ??+?? =bsin A2 ??2 ??2 及正弦定理可得sin Acos =sin Bsin A,∵sin A≠0, ??122 ??2 ∴cos =sin B=2sin cos ?sin =(0 ???? =得sin??sin?? π3 a= ??2π sin(-C), sin??338 1√3+, tan??8 π2 ∴S△ABC=a=1√3√3√3( 2242tan?? +)=· 12 由△ABC为锐角三角形可得{ 0 2π-C3< ππ1 π?6 √3√38 , 2 ). 解法二:由余弦定理得b=√??2-a+1, ??2+1>??2, 1 由题意得{??2+??2>1,? 2??2+1>??2则S=a=a∈( 1√3√3224 √3√38 , 2 ). √3√3即△ABC面积的取值范围为( 8 , 2 ). 应用篇知行合一 【应用集训】 1.(2020届湖南长沙一中第一次月考,15)秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积”.如果把以上这段文字写成公式就是 1??2+??2-??2S=√[??2??2-()42 2 ],其中a,b,c是△ABC的内角A,B,C的对边.若sin C=2sin Acos B,且b,2,c 2 2 成等差数列,则△ABC面积S的最大值为 . 答案 2√5 5 2.(2020届宁夏银川第一次月考,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈(,).将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若x1=,求x2; (2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.设△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2若S1=2S2,求角α的值. 14 ππ62 π3 20