第十一章 重积分
§1 二重积分的概念
1.把重积分网x=
??xydxdy作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=?0,1???0,1?,并用直线
Dij,y=(i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为nn其界点.
2.证明:若函数f在矩形式域上D可积,则f在D上有界.
3.证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续,则f在D上可积.
4.设D为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.
性质2 若f、g都在D上可积,则f+g在D上也可积,且性质4 若f、g在D上可积,且f?g,则
??f?g?=?f??g.
DDD?f??g,
DD性质7(中值定理) 若f为闭域D上连续函数,则存在??,???D,使得
?f?f??,???D.
D5.设D0、D1和D2均为矩形区域,且
D0?D1?D2,intD1?intD1??, 试证二重积分性质3.
性质3(区域可加性) 若D0?D1?D2且intD1?intD1 ??,则f在D0上可积的充要条件是f在D1、D2上都可积,且
?f=?f??f,
D0D1D26.设f在可求面积的区域D上连续,证明: (1)若在D上f?x,y??0,f?x,y??0则f?0;
?D(2)若在D内任一子区域D??D上都有
?f?0,则在D上f?x,y??0。
D?.
7.证明:若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号,则存在一点
??,???D,使得
??f?x,y?g?x,y?dxdy=f??,????g?x,y?dxdy.
DD
8.应用中值定理估计积分
dxdy 22??x?y?10100?cosx?cosy的值
§2 二重积分的计算 1.计算下列二重积分: (1)
???y?2x?dxdy,其中D=?3,5???1,2?;
D(2)
??xydxdy,其中(ⅰ)D=?0,2???0,3?,(ⅱ)D=?0,3? ??0,2?;
2D(3)
???0,???0,??; ,其中D=??cosx?ydxdy????2?Dxdxdy,其中D=?0,1???0,1?. ??1?xyD(4)
2. 设f(x,y)=f1?x??f2?y?为定义在D=?a1,b1???a2,b2? 上的函数,若f1在?a1,b1?上可积,f2在?a2,b2?上可积,则f在D上可积,且
b1b2?f=?f1??f2.
Da1a23.设f在区域D上连续,试将二重积分
??f?x,y?dxdy化为不同顺序的累次积分:
D(1)D由不等式y?x,y?a,x?b?0?a?b?所确的区域:
(2)D由不等式x?y?a与x?y?a(a>0)所确定的区域;
222(3)D=?x,y?x?y?1.
4.在下列积分中改变累次积分的顺序: (1)
???1020dx?f?x,y?dy; (2)
xx22x?1?1dx?1?x2?1?x2f?x,y?dy;
(3)
?dy?f?x,y?dy+?dx?0311?3?x?20f?x,y?dy.
5.计算下列二重积分:
(1)
p2,其中D由抛物线y=2px与直线x=(p>0)所围的区域; xydxdy??2D(2)
???xD2?y2dxdy,其中D=??x,y?0?x?1, ?x?y ?2x;
?(3)
??Ddxdy2a?x(a>0),其中D为图(20—7)中的阴影部分；
(4)
??DDxdxdy,其中D=?x,y?x2?y2?x;
2??(5)
??xydxdy,其中为圆域x?y2?a2.
6.写出积分
??f?x,y?dxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分:
d22(1)D由不等式x?y?1,y?x,y?0所确定的区域;
(2)D由不等式a?x?y?b所确定的区域; (3)D=?x,y?x?y?y,x?0.
222222??
7.用极坐标计算二重积分: (1)
222222?; ?4?,其中D= sinx?ydxdy??x,y??x?y???D(2)
22,其中D=??x?ydxdy???x,yx?y?x?y?; ??D(3)
22222?x?y?R,其中D为圆域. fx?ydxdy????D
8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分: (1)
?20dx?2?x1?xf?x,y?dy,其中u=x+y,v=x-y;
(2)
4?y?0Ucosv, ,其中D=,, ,若x=????fx,ydxdyx?0x,yx?y?a???Dy?Usin4v.
(3)
??f?x,y?dxdy,其中D=??x,y?x?y?a,x?0, y?0?,若x+y=u,y=uv.
9.求由下列曲面所围立体V的体积:
(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体; (2) v由z=x?y和z=x+y围的立体;
22x2y2x2y2??(3) v由曲面Z?和2Z=所围的立体. 49492
11.试作适当变换,计算下列积分: (1)
???x?y?sin?x?y?dxdy,D=??x.y?0?x?y??0?x?y???;
D