提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即
2．归纳总结，核心必记 (1)导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即(2)导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝
[问题思考]
(1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？
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提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．
(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？
提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
[课前反思]
(1)导数的几何意义是： ；
(2)导数的概念是： ； (3)如何求函数f(x)在x＝x0处的切线方程？
．
[思考1] 直线的点斜式方程是什么？ 提示：y－y0＝k(x－x0)．
[思考2] 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
[思考3] 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？ 名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，
y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
讲一讲
1．已知曲线y＝x，
(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3，5)的切线方程． [尝试解答] (1)设切点为(x0，y0)，
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∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
(2)点P(3，5)不在曲线y＝x上，设切点为A(x0，y0)， 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0， ∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3，5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，① 再由A(x0，y0)在曲线y＝x上得y0＝x0，② 联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2， 此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
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当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10， 此时切线方程为y－25＝10(x－5)， 即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3，5)且与曲线y＝x相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
练一练
1．已知曲线C：y＝x.
(1)求曲线C在x＝1处的切线方程； (2)求第(1)问中的切线与曲线C的公共点． Δy（x＋Δx）－x解：(1)∵＝
ΔxΔx＝3x＋3Δx·x＋(Δx)，
又x＝1时，y＝1，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0.
?y＝x，?3
(2)由?得x－3x＋2＝0，
??3x－y－2＝0，
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3
3
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即x－x－2x＋2＝0，(x－1)(x＋2)＝0. 解得x＝1或x＝－2，
∴切线与曲线C的公共点为(1，1)和(－2，－8)．
[思考] 如何处理切点问题？ 名师指津：切点问题的处理方法：
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾
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斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
讲一讲
2．若曲线y＝x－3x＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．
[尝试解答] 设P点坐标为(x0，y0)， Δyf（x0＋Δx）－f（x0）＝ ΔxΔx（x0＋Δx）－3（x0＋Δx）＋1－x0＋3x0－122＝＝(Δx)＋3x0Δx－3Δx＋3x0－6x0.
Δx＝3x0－6x0，于是3x0－6x0＝9，解得
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x0＝3或x0＝－1，
因此，点P的坐标为(3，1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标． 练一练
2．已知曲线y＝2x－a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标及a的值．
解：设切点P(x0，y0)，
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＝4x，
得k＝y′|x＝x0＝4x0. 根据题意4x0＝8，x0＝2， 代入8x－y－15＝0得y0＝1.
故所求切点为P(2，1)，a＝2x0－y0＝7.
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