2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷

∴异面直线PB与DC所成角的大小为arctan

.…………………………………14分

【点评】本题考查四棱锥的体积的求法,考查异面直线所成角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

19.(14分)已知各项都不为零的无穷数列{an}满足:an+1an+an+1﹣an=0; (1)证明

为等差数列,并求a1=1时数列{an}中的最大项;

(2)若a2018为数列{an}中的最小项,求a1的取值范围. 【分析】(1)推导出最大项为a1=1. (2)由

,当

时,数列

是正项递增数列,此数列没有最大项,

是递增数列,且a2018是{an}

是等差数列,且公差d=1,由此能证明数列{an}递减数列,

从而数列{an}中就没有最小项,故的最小项,能求出a1的取值范围. 【

;再由数列

明:(1)由

…………2分

是等差数列,且公差d=1; …………………2分

…………………1分

当a1=1时,

数列{an}递减数列,最大项为a1=1…………………1分 解:(2)由(1)知当

时,数列

; …………………1分

是正项递增数列,此数列没有最大项,

;…………………1分

从而数列{an}中就没有最小项,故

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由数列∴从而有又

是递增数列,且a2018是{an}的最小项, 是数列

中的最大负项,…………………2分

…………2分

. …………………2分

∴a1的取值范围是:

【点评】本题考查等数列的证明,考查数列的首项的取值范围的求法,考查等差数列、数列的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题. 20.(16分)设抛物线y=4px(p>0)的准线与x轴的交点为M,过M作直线l交抛物线于A、B两点.

(1)求线段AB中点的轨迹;

(2)若线段AB的垂直平分线交对称轴于N(x0,0),求x0的取值范围;

(3)若直线l的斜率依次取p,p,p,…,p,…时,线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1,N2,N3,…,Nn,…,当0<p<1时, 求:

2

2

3

n

2

的值.

【分析】(1)设直线AB:y=k(x+p),联立y=4px,利用韦达定理求解AB的中点为P(x,y),求解轨迹方程,得到轨迹为该抛物线位于直线x=p右方的两段抛物线弧. (2)设AB的中点为P'(x',y'),求出线段AB的垂直平分线的方程,然后求解x0>3p. (3)求出AB中点的横坐标通过数列

,求出点Nn的横坐标

为一无穷递缩等比数列,求解所有项的和.

2

【解答】解:(1)设直线AB:y=k(x+p),联立y=4px, 得:kx+(2pk﹣4p)x+kp=0,……………(1分) 由k≠0且△>0得到:0<k<1.……(1分)

2

22

2

22

设AB的中点为P(x,y),则,……(1分)

消去k得,y=2p(x+p)(x>p).……(1分)

实际轨迹为该抛物线位于直线x=p右方的两段抛物线弧.……(1分)

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2

(2)设AB的中点为P'(x',y'),……(1分) 则线段AB的垂直平分线的方程为:令y=0,得(2分)

由x'>p,得x0>3p.……(1分)

(3)∵x0=2p+x',由(1)知AB中点的横坐标分)

则当k=p时,点Nn的横坐标

n

.……(1分)

,……

,∴.……(1

,……(1分)

同理Nn+1的横坐标

,∴,……(1分)

.……(1分)

∴数列为一无穷递缩等比数列,所有项的和为.……

(2分)

【点评】本题考查数列的应用,数列求和,数列与函数以及解析几何相结合的应用,考查发现问题解决问题的能力. 21.(18分)已知函数

(1)分别求f(f(﹣1)),f(f(2018))的值; (2)讨论|f(f(x))|=m(m∈R)的解的个数;

(3)若对任意给定的t∈[1,+∞),都存在唯一的x∈R,满足f(f(x))=2at﹣at,求实数a的取值范围.

【分析】(1)直接由分段函数求得f(f(﹣1)),f(f(2018))的值;

(2)求出函数y=|f(f(x))|的解析式并作出图象,数形结合可得|f(f(x))|=m(m∈R)的解的个数;

(3)由题意可得2at﹣at的取值必须大于1,然后根据a的范围分析关于t的二次函数的值域,从而可得实数a的取值范围.

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22

22

﹣1

【解答】解:(1)∵f(﹣1)=2018,∴f(f(﹣1))=﹣1. ∵f(2018)=1,∴f(f(2018))=0. (2)

画图y=|f(f(x))|的图象如图,

由图可知,当m<0时,方程|f(f(x))|=m有0解; 当m=0时,方程|f(f(x))|=m有2解; 当0<m≤1时,方程|f(f(x))|=m有4解; 当m>1时,方程|f(f(x))|=m有3解.

(3)要使对任意给定的t∈[1,+∞),都存在唯一的x∈R,满足f(f(x))=2at﹣at, 则2at﹣at的取值必须大于1;

即当t∈[1,+∞)时,2at﹣at的值域包含于(1,+∞); 当a=0时,2at﹣at=0,舍去; 当当

时,时,

; <0,舍去; .

22

22

22

22

22

综上所述,

【点评】本题主要考查了分段函数的应用,关键是可以把2at﹣at当作是一个数,然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数求解,是难题.

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