∴S20=2+3+4+5+…+21=230. 课后拓展训练 一、选择题
1.B 2.A 3.A 4. D 5.D
6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.B 二、填空题
11或? 23? n?1 (a?1)?13.?1-an?1
(a?1)??1?a12.
aa1a22n?113+2+…+ n=+2+…+ ,222n22232n?111则Sn=2+3+…+ , 22n?12222n?12211两式相减得:Sn ==+(2+3+…+ n)-n?1 2222222n?3所以Sn=3- 2n(2)由题有Sn=[变式训练二] (1)a1 =2 a2 =6 a3 =10 (2)an=4n-2 [变式训练三]
(1)当n=1时,a1?S1?1 把n=1代入2n?2n?1=1,
aan=2n?2n?1.n?1?2
an当n≥2时,an?Sn?Sn?1=2n?2n?1
14.0 15.380
三、解答题
16.100不是,269是第15项 17.5?1 218. 3
19.(2)16或17 20.an??
第五节 数列的综合应用(二)
【课前自主梳理】 (二)基础过关 1.解:由题意2a3=a1+a2,∴2a1q2=a1q+a1,∴2q2=q+1,∴q=1或q=?? -2 (n?1)n?1??2(n?2)Sn=-2n
所以数列?an?是首项为1,2为公比的等比数列. (2)bn?2n?1?2所以Tn=2n+2n-1 (二)经典考题
1.故选C 2Sn?3n?2,所以Sn?3n2?2n, n所以a1?S1?3?2?5, 1.解:(1)由题意得:
12.解:设{an}的公比为q,∵a1,a3,2a2成等差数列 2∴a1+2a2=a3,即a1+2a1q=a1q2,解得q=1±2,各项均为正数故q>0.∴q=1+2 又a2?S2?S1?3?22?2?2?5?11. 当n≥2时,an?Sn?Sn?1
?(3n2?2n)?[3(n?1)2?2(n?1)] ?6n?1,
当n=1时a1?5?6?1?1,
所以数列?an?的通项公式为an?6n?1. (2)因为f(n)≥Sn?22, 所以3n?2?3n2?2n?22,
a9=q.故选D a83.解:设公差为d,由a3=8,且a1,a3,a7成等比数列,可得64=(8-2d)(8+4d)=64+16d-8d2,即,0=16d-8d2,又公差不为0,解得d=2,此数列的各项分别为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,故样本的中位数是13,平均数是13,故答案为B 4.解:∵1,a,4成等比数列,∴a2=4,a=±2. ∵3,b,5成等差数列,∴b=4, 8?n?3, 3因为n?N?,所以n?1,2,3. 所以3n2?n?24?0,所以?2.解:∵数列{an}为等比数列, ∴a4=
113
?q=-4,q=-2;an=?(?2)n?1, |an|=
22a1∴=±,故选D. b25.解:a2?a3=a1q?a1q2=2a1 ∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=1n?1?2, 2由等比数列前n项和公式得 |a1|+|a2|+…+|an|=-
541a,a1=q21+243=16 1nn-11?2=2-. 22(三)演练反馈
1. C 解析:由log2(a2a98)=4,得a2a98=24=16, 则a40a60=a2a98=16. 2. A
课后拓展训练 一、选择题
1.解析 B 由题意 知,tan A=-1-?-4?7-3=34>0. 又∵tan3B=412=8,∴tan B=2>0, ∴A、B均为锐角. 又∵tan(A+B)=34+21-34×2=-112<0,∴A+B为钝角,
故S5=31,故答案为31. 【课堂典例探究】 (一)典例精析 [变式训练一]
解(1)因为点P(an,an +1)在直线y=x+2上, 所以an +1= an +2,即an +1- an =2, 又因为a1=1,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列, 从而an =2n-1.
25
即C为锐角,∴△ABC为锐角三角形. 二、填空题
2. 解析 ∵a1=1,a4=7,∴d=7-14-1=2. ∴S5=5a1+5×?5-1?2d=5×1+5×42×2=25.
3.解析 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列, ∴an+1=4?2n-1,∴an=2n+1-1. 三、解答题 4.解:(1)数列{bn}的通项公式bn=3n-2; ②由①可知,an3=4-(bn+2)=4-3n,∴an=4-n, ∴数列{an}的通项公式an=4-n. (2)由题意和(1)可知:cn=(3n-2)×4-n, ∴Tn=[变式训练三] 解:(1)∵(an,an+1)在函数f(x)=x+2的图象上, ∴an+1=an+2即an+1-an=2 ∴数列{ an }是a1=1为首项,2为公差的等差数列, ∴an =1+(n-1)×2=2n-1 (2)∵数列{bn}满足bn=2an?1∴bn=22n-2=4n-1, ∴bn?14n=n?1=4 bn4∴数列{bn}是以1为首项,4为公比的等比数列. 121??(3n-2)×n?1 n?133?441?4n4n?1∴Sn==. 1?43[变式训练四] (1)∵a1?19,d??2, ∴an??19?2(n?1)??2n?21
5. 解析:(1)依题意,得 3a1+3×22d+5a1+5×42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.
∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即an=2n+1.
(2)由已知,得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1, ∴Tn=b1+b2+…+bn
=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1) =
4(1?2n)+n=2n+1-2+n. 1?2Sn?19n?n(n?1)(?2)??n2?20n 2(2)由题意知,bn?an?3n?1,∴bn?3n?1?2n?21
3n?1Tn?b1?b2???bn?(1?3??3)?Sn??n?20n?2n?12(二)经典考题 1.D 2.Tn=
6. 解析 (1)令x=n,y=1, 得f(n+1)=f(n)?f(1)=12f(n),
∴{f(n)}是首项为12,公比为12的等比数列, 即f(n)=12n.
(2)设Tn为{an}的前n项和, ∵an=n?f(n)=n?12n, ∴Tn=12+2×122+3×123+…+n×12n,
234
12Tn=12+2×12+3×12+…+(n-1)×12n+n×12n+1, 两式相减得
12Tn=12+122+…+12n-n×12n+1, 整理,得Tn<2.
第六节 数列的求和
【课前自主梳理】 (一)知识回顾
4n?1?n 3(三)演练反馈 1.解:∵等差数列{an}中,S16>0且S17<0 ∴a8+a9>0, a9<0, ∴a8>0, ∴数列的前8项和最大 故选A 2.解∵数列通项an=10n-1, ∴Sn=(10+102+103++10n)-n =10(10n?1)?n 9n(a1?an)n(n?1)或Sn?na1?d 22
?a1(1?qn)q?1?2.Sn??1?q
?naq?1 ?1(二)基础过关 1. B. 2. B. 【课堂典例探究】 (一)典例精析 [变式训练一]
解:依题意可知a1+a2=3,a3+a4=3…a9+a10=3 ∴a1+a2+…+a10=5×3=15 故选A. [变式训练二] 解:第n行有2n-1个数字,前n行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2个,
∵442=1836,452=2025,且1836<2010,2025>2010, ∴2010在第45行,
又2025-2010=15,且第45行有2×45-1=89个数字, ∴2010在第89-15=74列. 故选D. 1.Sn?故应选D 3.解:(1)依题意可得2a2=2(1+d),a10=1+9d,5a5=5(1+4d), ∵2a2,a10,5a5成等比数列, ∴(1+9d)2=10(1+d)(1+4d), 又∵公差d>0, 解得d=1,∴an=n, 1111(2)∵bn===-, (n?1)an(n?1)nnn?111n1111)+(-)+…+(-)=1-=. n?1n?1223nn?111114.解:∵=(-), n(n?2)2nn?2∴Tn=(1-∴Sn=121=2=11111111[(1-)+(-)+(?)+…+(-)] 352324nn?2111(1+--) 2n?1n?2131? (?). 2n?1n?2课后拓展训练 解答题
1.解(1)设数列{an}公差为d,则 a1+a2+a3=3a1+3d=12,又a1=2,d=2.所以an=2n. (2)由bn=an3n=2n3n,得
Sn=2?3+4?32+…(2n-2)3n-1+2n?3n,①
26
3Sn=2?32+4?33+…+(2n-2)?3n+2n?3n+1.② 将①式减去②式,得
-2Sn=-2(3+32+…3n)-2n?3n+1=3(3n-1)-2n?3n+1. 所以Sn=
[变式训练四] 1024元
(二)经典考题
1.(1)yn=0.15n+1.35+(2)10年,4.35万元。
n2. 解:⑴使用x年后,累计总收入为 46x(万元) 使用x年后,累计维护费为8x?3(1?3n)+n?3n+1. 2152.解:(1)设公差为d, ∵Sn=14,且a1,a3,a7成等比数列, ∴4a1+6d=14,(a1+2d)2=a1(a1+6d) , 解得d=0(舍)或d=1,所以a1=2, 故an=n+1. 1111(2)∵an=n+1,∴==-, an?an?1(n?1)(n?2)n?1n?2x(x?1)?4?2x2?6x(万元) 2由题意得y?46x?(2x2?6x)?72??2x2?40x?72
⑵盈利额为正,即y?0,解得 2?x?18
所以 从第三年年初开始盈利 所以T1n=2?13+13?14+…+11n?1?n?2=12?1n?2,所以T5032012=1007. 3.解:(1)?Sn?1?an,①①?Sn?1?1?an?1② ②-①,得a1n?1??an?1?an,?an?1?2an(n?N?) 又n?1时,a1?1?a1,n?1n?a?12,a1?1??1?1n?2???2?????2??,n?N? (2)bnn?a?n?2n,n?N? n?Tn?1?2?2?22?3?23???n?2n③ 2Tn?1?22?2?23?3?24???n?2n?1④ ③-④,得?T32(1?2n)n?2?22?2???2n?n?2n?1??2?n?2n?11整理,得Tn?(n?1)2n?1?2,n?N? 第七节 数列的实际应用
【课前自主梳理】 (一)知识回顾 1. an?a1?(n?1)dn(a 2.S1?an)nn?2,S?na(n?1)n1?2d 3.
a?1n?a1qn
4. q?1时,S1(1?qn)n?na1;q?1时,San?1?q
(二)基础过关
1.(1)48万元 (2)12万元 2.6105.1万元 3.
1103cm 703cm 4.(1)213万元(2)915万元 5.2.25平方千米 【课堂典例探究】 (一)典例精析 [变式训练一] 127cm [变式训练二] 0.6万平方米 [变式训练三] 204.8mm
⑶第一种处理方案:年平均盈利为
yx?40?(2x?7272x)?40?22x?x?40?24?16 当且仅当2x?72x,即x?6时,等号成立.
当x?6时, yx达到最大值为16万元.
获利16*6+42=138万元 第二种处理方案:
累计盈利额为y??2x2?40x?72??2(x?10)2?128?128万元
当x?10时, y达到最大值128万元.获利128+10=138万元 两方案获利相同,但方案一的花费时间较长,所以按第一方案处理合算. (三)演练反馈
1.(1)100.7mm(2)181.5万平方米 2.C 3. 62m
课后拓展训练 一、选择题 1.D
解:去年产值是a
第一年要比去年产值增加10%,那么第一年就是a+10%a,即 a(1+0.1)
第二年又比第一年增加10%,所以两年是a(1+0.1)(1+0.1) 依此类推,第五年是a(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1),五年总产值为:
1.1a+1.12a+…+1.15a=11(1.15-1)a,故选D
二、解答题
2.3万元 3.18年 4.2n-1 5.4179
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