《大学物理简明教程》课后习题答案(全)

《大学物理简明教程》习题解答

习题一

1-1 |?r|与?r有无不同?和有无不同? 同?其不同在哪里?试举例说明.

?r?r2?r1;

??drdtdrdtdvdt和

dvdt有无不

解:(1)?r是位移的模,?r是位矢的模的增量,即?r?r2?r1,

drdtdrdsdt?v?dt(2)

drdt是速度的模,即.

只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?r??dtdtdt rr?rr∵有(式中叫做单位矢),则dr式中dt就是速度径向上的分量,

题1-1图

dvdtdrdr与dtdt不同如题

1-1图所示.

(3)表示加速度的模,即量.

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢)∵有,所以

??dvdv?d????vdtdtdt??dva?dtdv,dt是加速度a在切向上的分

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与(dtdt的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)

1-2 设质点的运动方程为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度

和加速度时,有人先求出r=

而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结

dr22x?y,然后根据v=dtd2r,及a=dt2果,即

v=及a=

你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?

解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角

???r?xi?yj, 坐标系中,有

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

22?dx??dy???????dt??dt?22?d2x??d2y???dt2?????dt2??????22故它们的模即为

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y2

而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作

drv?dtdrd2r与2其二,可能是将dtdtdr说明dt?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????2d2ra?2dt

误作速度与加速度的模。在1-1题中已

d2r不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,dt2也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分

2?d2r?d??????a径?2?r??dtdt??????。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r?在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速?v度的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动,运动方程为

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

式中t以 s计,x,y以m计.(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出t=1 s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算t=0 s时刻到t=4s时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4 s 时质点

的速度;(5)计算t=0s 到t=4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).

?1??r?(3t?5)i?(t2?3t?4)j2m 解:(1)

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1(4) dt

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????v?3i?3j,v?3i?7j 4(5)∵ 0??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题1-4图所示.当人以v0(m·s?1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.

图1-4

解: 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?角,由图可知

l2?h2?s2

将上式对时间t求导,得

2ldlds?2sdtdt

题1-4图

根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的, ∴ 即

v船??v绳??dlds?v0,v船??dtdt

vdsldll???v0?0dtsdtscos?

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

将v船再对t求导,即得船的加速度

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

s1-5 质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为 a=2+6x2,a的

单位为m?s?2,x的单位为 m. 质点在x=0处,速度为10m?s?1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解: ∵

2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量:

12v?2x?2x3?c两边积分得 2

a?dvdvdxdv??vdtdxdtdx

由题知,x?0时,v0?10,∴c?50

3?1v?2x?x?25m?s∴

1-6 已知一质点作直线运动,其加速度为 a=4+3tm?s?2,开始

运动时,x=5 m,v=0,求该质点在t=10s 时的速度和位置.

dv?4?3t 解:∵ dt 分离变量,得 dv?(4?3t)dt

a?

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