《大学物理简明教程》课后习题答案(全)

5-10 如题5-10图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势.

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消,取dl?Rd?

?dq??Rd?dEO则产生点如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向

A?q0(UO?UC)?qoq6π?0R

题5-10图

E??dEy??2???

?Rd?cos??4π?R202

????sin(?)?sin4π?0R[2] 2??2π?0R

A(2) AB电荷在O点产生电势,以U??0

2R?dx?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000

?U2?ln24π?0同理CD产生

半圆环产生

U3?πR???4π?0R4?0

2

5-11 三个平行金属板A,B和C的面积都是200cm,A和B相距4.0mm,A与C相距2.0 mm.B,C都接地,如题8-22图所示.如

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果使A板带正电3.0×10C,略去边缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A板的电势是多少?

解: 如题8-22图示,令A板左侧面电荷面密度为?1,右侧面电荷面密度为?2

UO?U1?U2?U3???ln2?2π?04?0题5-11图

(1)∵ UAC?UAB,即 ∴ EACdAC?EABdAB

?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2

q?A且 ?1+?2S

?2?qA2q,?1?A3S 3S

2qC???1S??qA??2?10?7C 3而

qB???2S??1?10?7C (2)

?1dAC?2.3?103?0V

5-12 两个半径分别为R1和R2(R1<R2)的同心薄金属球壳,现

UA?EACdAC?给内球壳带电+q,试计算:

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;

(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势; *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量.

解: (1)内球带电?q;球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q,且均匀分布,其电势

题5-12图

????U??E?dr??R2R2

(2)外壳接地时,外表面电荷?q入地,外表面不带电,内表面电

qdrq?4π?0r24π?0R

荷仍为?q.所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生:

(3)设此时内球壳带电量为q?;则外壳内表面带电量为?q?,外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒),此时内球壳电势为零,且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?04π?0R2

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0得 外球壳上电势

q'q'?q?q'?R1?R2?qUB?4π?0R2?4π?0R2?4π?0R2?24π?0R2q??R1qR2

5-13 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为?r,金属球带电Q.试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势. 解: 利用有介质时的高斯定理(1)介质内(R1?r?R2)场强

???Qr?QrD?,E内?4πr34π?0?rr3???D?dS??qS

;

介质外(r?R2)场强

??Qr?QrD?,E外?34πr4π?0r3 (2)介质外(r?R2)电势 U???r??E外?dr?Q4π?0r

介质内(R1?r?R2)电势

??????U??E内?dr??E外?dr rr

?11Q(?)?4π?0?rrR24π?0R2q

? (3)金属球的电势

1??1(?r)4π?0?rrR2 QR2?????U??E内?dr??E外?drR1R2QdrR4π??r2R24π?r20r0Q1??1?(?r)4π?0?rR1R2 ??R2Qdr

???

题5-14图

5-14 两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为R1和R2(R2>R1),且l>>R2-R1,两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时,求:(1)在半径r处/R1<r<R2/,厚度为dr,长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容.

解: 取半径为r的同轴圆柱面(S) 则 当(R1?r?R2)时,?q?Q ∴

D?Q2πrl??D??dS?2πrlD(S)

D2Q2w??2222?8π?rl(1)电场能量密度

Q2Q2drdW?wd??2222πrdrl?8π?rl4π?rl薄壳中

(2)电介质中总电场能量

W??dW??VR2R1RQ2drQ2?ln24π?rl4π?lR1

Q2W?2C(3)电容:∵

Q22π?lC??2Wln(R2/R1) ∴

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