【2013考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知识络构建】
【重点知识整合】 1．平面向量的基本概念 2．共线向量定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b 的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个x2y2充要条件也可以写为＝，即对应坐标的比值相等．
x1y1
3．平面向量基本定理
对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.
4．向量的坐标运算
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
5．数量积
(1)已知a，b的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；
x1x2＋y1y2a·b(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝＝2222；
|a||b|x1＋y1x2＋y2(4)|a|2＝a·a.
(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零． 【高频考点突破】
考点一 向量的有关概念和运算
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.
a
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为. |a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． 例1、已知关于x的方程：
·x2＋
·2x＋
＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，
O是直线AB外一点，则下列结论正确的是 ( )
A．点C在线段AB上
B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点 C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点 D．以上情况均有可能
【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点
(1)正确理解向量的基本概念；
(2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a， λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；
(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中
一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二 平面向量的数量积
1． 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角
的余弦的乘积，
其符号由夹角的余弦值确定．
a·b
2．求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈a，b〉＝先求出夹角的余弦值，然
|a|·|b|a·b
后求夹角；向量a在向量b方向上的投影为. |b|
【方法技巧】
a·b
(1)准确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝及向量模的公式|a|＝a·a.
|a||b|(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0； ②|a·b|≤|a||b|；
③a(b·c)与(a·b)c不一定相等.
考点三 平面向量与三角函数的综合应用
通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．
例3.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)． (1)求向量b＋c的长度的最大值； π
(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．
4
[解] (1)法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则 |b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． ∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2. 当cosβ＝－1时，有|b＋c|max＝2， 所以向量b＋c的长度的最大值为2.
法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2. 当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2， 所以向量b＋c的长度的最大值为2.
【难点探究】
难点一 平面向量的概念及线性运算
→→
例1、 (1)a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
→→→(2) 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4
11→
＝μA1A2(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)
λμ调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是( )