∴==,∠CAO=∠DBO.
设AO,BM交于点N, ∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=90°. (3)AC的长为2或3. 5.(1)① ②
(2)无变化.
证明:在题图(1)中, ∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥AB, ∴
=
,∠EDC=∠B=90°.
如题图(2),∵△EDC在旋转过程中形状、大小不变, ∴=仍然成立, 即
=
,
又∵∠ACE=∠BCD=α, ∴△ACE∽△BCD, ∴
=
.
在Rt△ABC中,AC==
=4,
∴=
=,
∴=,
∴
的大小无变化.
(3)4或
.
6.(1)AB=3EH CG=2EH (2)
作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB, ∴
=
=m,∴AB=mEH.
∵AB=CD,∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG,
17
∴∴
==
=2,∴CG=2EH, =.
(3)ab
(提示:过E作EH∥AB交BD的延长线于点H)
第五节 锐角三角函数及其应用
1.过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则DB=9米. 在Rt△CBD中,∠BCD=45°, ∴CD=
=9(米).
在Rt△ACD中,∠ACD=37°,
∴AD=CD·tan 37°≈9×0.75=6.75(米), ∴AB=AD+BD=6.75+9=15.75(米). (15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒),
故国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.
2.过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CDA=90°. 已知∠CAD=45°,设CD=x n mile,则AD=CD=x n mile, ∴BD=AD-AB=(x-5)n mile.
在Rt△BDC中,CD=BD·tan 53°,即x=(x-5)·tan 53°,
∴x=≈=20,
∴BC==≈=25(n mile),
∴B船到达C船处约需25÷25=1(h).
在Rt△ADC中,AC=x≈1.41×20=28.2(n mile), ∴A船到达C船处约需28.2÷30=0.94(h). ∵0.94<1,
∴C船至少要等待约0.94 h才能得到救援.
3.延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H. 由题意知∠BGA=∠DAE=30°,DA=6, ∴GD=DA=6,
∴GH=AH=DA·cos 30°=6×=3, ∴GA=6.
设BC的长为x米. 在Rt△GBC中,GC===x. 在Rt△ABC中,AC==
.
∵GC-AC=GA,
18
∴x-=6,
∴x≈13,
即大树的高度约为13米.
4.过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度. 根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°. 设AD=x,则BD=BA+AD=1 000+x. 在Rt△ACD中,CD=
=
=x,
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°, ∴1 000+x=x·tan 68°, ∴x=
≈
≈308,
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米. 5.在Rt△BAE中,∠BAE=68°,BE=162米, ∴AE=
≈
≈65.32(米).
在Rt△DCE中,∠DCE=60°,DE=176.6米, ∴CE=
≈
≈102.08(米),
∴AC=CE-AE=102.08-65.32=36.76≈36.8(米).
即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为36.8米. 6.设AB=x米.
∵∠AEB=45°,∠ABE=90°, ∴BE=AB=x米. 在Rt△ABD中,tan∠D=,即tan 31°=
,
∴x=
≈
=24,即AB≈24米.
在Rt△ABC中, AC=
=
=25(米),
即条幅的长度约为25米. 7.∵DE∥BO,α=45°, ∴∠DBF=α=45°,
∴在Rt△DBF中,BF=DF=268. ∵BC=50,
∴CF=BF-BC=268-50=218.
由题意知,四边形DFOG是矩形, ∴FO=DG=10,
∴CO=CF+FO=218+10=228. 在Rt△ACO中,β=60°,
∴AO=CO·tan 60°≈228×1.732≈394.9. 394.9-388=6.9,
19
即塔高AO约为394.9米,计算结果与实际塔高388米之间的误差为6.9米. 8.如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.
∵AB=AC,∴CE=BC=0.5. 在Rt△AEC中, ∵tan 78°=
,
∴AE=EC·tan 78°≈0.5×4.70=2.35. 又∵sin α==
,
∴DF=
·AE=·AE≈1.007,
∴李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面的距离约为1.007+1.78=2.787, ∴头顶与天花板的距离约为2.90-2.787≈0.11. ∵0.05<0.11<0.20, ∴此时他安装比较方便. 9.在Rt△CAE中,AE==
≈≈20.7(cm). 在Rt△DBF中,BF=
=≈
=40(cm).
故EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151(cm). 易知四边形CEFH为矩形, ∴CH=EF=151 cm,
即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm.
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