V?Q4??0R
其中R是球面的半径。根据上述分析，利用电势在加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。 解1：（l）由高斯定理可求得电场分布
E1?0r?R1Q14??0r2erR1?r?R2 r?R2 E2?E3??Q1?Q2er4??0r2由电势V??rE?dl可求得各区域的电势分布。当r?R1时，有 V1??R1rE1?dl??Q14??0R2R1E2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2???RR???4??R2?02?1Q1Q2??4??0R14??0R2?0?
当R1?r?R2时，有 V2???R2rE2?dl???R2E3?dl?11?Q1?Q2??r?R???4??R
2?02?Q1Q2??4??0r4??0R2Q14??0当r?R2时，有 V3???rE3?dlQ1?Q2 ?r4??0R2（2）两个球面间的电势差
U12??R2R1E2?dl?Q14??0?11????RR??
2??1解2：（l）由各球面电势的叠加计算电势分布。若该点位于两个球面内，即r?R1，则
V1?Q14??0R1Q14??0r?Q24??0R2Q24??0R2
若该点位于两个球面之间，即R1?r?R2，则
V2??
若该点位于两个球面之外，即r?R2，则
V3?Q1?Q2r
4??0R2 （2）两个球面间的电势差
U12?V1?V2r?R2?Q14??0R1?Q14??0R2
题7.22：一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为?。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线
分析 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称。选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理
?E?dS???01V?dV
可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义
Va?Vb??E2?dl
ab并取棒表面为零电势（Vb = 0），即可得空间任意点的电势
解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为高斯面，由高斯定理 当r?R时 E?2?rl??r2l??0 得E(r)??r 2?0当r?R时E?2?rl??R2l??0 ?R2得E(r)?
2?0r取棒表面为零电势，空间电势的分布有
R?r?当r?R时，V(r)??dr?(R2?r2)
r2?4?00当r?R时，V(r)??rR?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r图是电势V随空间位置r的分布曲线。
题7.23：两个很长的共轴圆柱面（R1 = 3.0?10?2 m，R2 = 0.10 m），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V。求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。
题7.23：两圆柱面之间的电场
? E?2??0r根据电势差的定义有
RR?U12??E?dl?ln2
R2??0R121解得??2??0U12lnE?R2?2.1?10?8C.m?1 R1?1?3.74?102V 2??0rr两圆柱面电场强度的大小与r成反比。
题7.24：在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109 V，被迁移的电荷约为 30 °C，如果释放出的能量都用来使0 °C的冰融化为0 °C的水，则可融化多少冰？（冰的融化热L =
3.34?105 J?kg?1）
题7.24：闪电中释放出的能量为冰所吸收，故可融化冰的质量 m??EqU??8.98?104kg LL即可融化约90吨冰。
题7.25：在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密度为?。A点的坐标为(0, R/2)，B点的坐标为(R/2, 0)，求电势差UAB。
题7.25分析：电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在Oxy平面上各点产生的电势显然就等于带电球面在该点的电势的一半。据此，可先求出一个完整球面在A、B间的电势差U?AB，再求出半球面时的电势差UAB。由于带电球面内等电势，球面内A点电势等于球表面的电势，故
11??(VR??VB?) UAB?UAB22?是带电球表面的电势，VB?是带电球面在B点的电势。 其中VR解：假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度? 的一个完整球面，此时在A、B两点的电势
分别为
Q?R??? VA??VR4??0R?0?R22?R??VB?? 4??0r?0r3?0QUAB则半球面在A、B两点的电势差 1?R??VB?)??(VR 26?0题7.26：已知水分子的电偶极矩p?6.17?10?30C?m。这个水分子在电场强度
E?1.0?105V?m?1的电场中所受力矩的最大值是多少？
题7.26解：在均匀电场中，电偶极子所受的力矩为M?p?E，故力矩的最大值为
Mm?pE?6.17?10?25N?m
题7.27：在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为0.53?10?10m的圆周绕原子核旋转。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功？（2）电子的电离能为多少？ 题7.27解：（1）电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为
e2 EP??
4??0r1因此，若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功
W??EP?e24??0r?27.2eV
（2）电子在玻尔轨道上运动时，静电力提供电子作圆周运动所需的向心力， 即e2(4??0r2)?mv2r。此时，电子的动能为
1e22 Ek?mv?
28??0r其总能量
E?Ek?EP??e28??0r
电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量 E0?E?13.6eV
由于电子围绕原子核高速旋转具有动能，使电子脱离原子核的束缚所需的电离能小于在
此过程中克服电场力所作的功。