4-8、一个二维物体的竖直表面收液体自然对流冷却，为考虑局部表面传热系数的影响，表面传热系数采用h?c(t?t1)来表示。试列出附图所示的稳态无内热源物体边界节点（M,n）的温度方程，并对如何求解这一方程提出你的看法。设网格均分。
解：利用热平衡法：
1.25h?c?tM，n?tf??tM，n?tf?0.25，
将h写为，其中tM，n为上一次迭代值，则方程即可线性化。
4-9、在附图所示的有内热源的二维导热区域中，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4），其余两个界面与温度为
h?c?tM，n?tf??tM，n?tf?0.25tf的流体
?。试列出节点1，2，5，6，对流换热，h均匀，内热源强度为?9，10的离散方程式。
解：节点1：
t5?t1??x?t2?t1??y?11????x?y???yh?t1?tf??0?????y?2??x?2?42；
t?t??y?t?tt?t??y?1?12????32????62??x???x?y??0?x?2??x?2??y2节点2：； t?t??y?t?t??x?t?t1?15????95????65??y???x?y???yh?t5?tf??0?y?2??y?2??x2节点5：； t?tt?tt?tt?t?26??x???76??y???105??x???56??y???x?y??0?y?x?y?x节点6：；
?t5?t9??x?t10?t9??y?1??x?y?????x?y?????????h?t9?tf??0?y?2??x?2?42??2节点9：； t?t??y?t?t??y?t?t1?910????1110????610??x???x?y???xh?h10?tf??0?x?2??x?2??y2节点10：。
当?x??y以上诸式可简化为：
?h?y?12????h?y??t5?t2??t?22?t??y???0?f??1??2???????节点1：； ???2t6?t1?t3?4t2??y2???0???节点2：；
h?y??h?y??2???2t6?t1?t9?2?t?22?t??y?f??5???0?????????节点5： ???t7?t10?t5?t7?4t6??y2???0???节点6：；
12????h?y??h?y?t5?t10?2?t?21?t??y???0f??9???2???????节点9：； h?y??h?y??2???2t6?t9?t11?2??tf?2?2??t10??y???0?????????节点10：。
一维稳态导热计算
4-10、一等截面直肋，高H,厚?，肋根温度为t0，流体温度为
tf，表面传热系数为h,肋片
导热系数为?。将它均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热及为对流边界条件（h同
侧面）的两种情况列出节点2，3，4的离散方程式。设
2t?20℃，计算节点
H=45cm,??10mm,h?50W/(m.K),?=50W/(m.K),t0?100℃，f2，3，4的温度（对于肋端的两种边界条件）。
解：采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为：
??t1?t2??节点2：节点3：
?x????t3?t2???x?2h?x?t2?tf??0?2h?x?t3?tf??0； ；
??t2?t3???x??t4?t3???x??t3?t4??节点4：肋端绝热
肋端对流
?x?h?x?t4?tf??0，
。
??t3?t4???x?x??h?x?t4?tf??h??t4?tf??0H3。将已知条件代入可得下列两方程组： 其中
肋端绝热 t3?2.045t2?100.9?0
t2?2.045t3?t4?0.9?0 t3?1.0225t4?0.45?0 肋端对流 t3?2.045t2?100.9?0 t2?2.045t3?t4?0.9?0 t3?1.0375t4?0.8?0
000t?92.2Ct?87.7Ct?86.2C； 234由此解得：肋端绝热，，
000t?91.5Ct?83.8C。 t?86.2C 肋端对流2，3，4肋端对流换热的条件使肋端温度更接近于流体温度。
4-11、复合材料在航空航天及化工等工业中日益得到广泛的应用。附图所示为双层圆筒壁，
假设层间接触紧密，无接触热阻存在。已知
r1?12.5mm,r2?16mm,r3?18mm,?1?40W/(m.K)，?2?120W/(m.K),tf1?150℃，
h1?1000W/(m2.K),tf2?60℃，h2?380W/(m2.K)。试用数值方法确定稳态时双层圆
筒壁截面上的温度分布。
解：采用计算机求解，答案从略。
采用热平衡法对两层管子的各离散区域写出能量方程，进行求解;如果采用Taylor展开法列出方程，则需对两层管子单独进行，并引入界面上温度连续及热流密度连续的条件，数值计算也需分两区进行，界面耦合。截面的温度分布定性地示于上图中。
4-12、有一水平放置的等截面直杆，根部温度t0?100℃，其表面上有自然对流散热，
h?c?t?tf?/d??1/4，其中，c?1.20W/(m1.75o.C);d为杆直径，m。杆高H=10cm，直径
d=1cm, ?＝50W/(m.K)，t??25℃。不计辐射换热。试用数值方法确定长杆的散热量（需得出与网格无关的解。杆的两端可认为是绝热的。 解：数值求解过程略，Q=2.234W。
4-13 在上题中考虑长杆与周围环境的辐射换热，其表面发射率为0.8，环境可作为温度为t?的大空间，试重新计算其导热量。 解：数值求解过程略，Q=3.320W。
4-14、有如附图所示的一抛物线肋片，表面形线方程为：
y?x??e2??b?e??1?xH?/22
???恒定，流体表面传热系数h,肋根温度t0及内热源?流体温度
tf为常数。定义：
??t?tft0?tf,??x/H。
试：（1）建立无量纲温度?的控制方程；（2）在无量
?H2?ebhH?0.01,?0.05,?0.1,?0.01???t?tHH?0f纲参数下对上述控制方程进行数量计
算。确定无量纲温度?的分布。
解：无量纲温度方程为：
下图中，无量纲温度从肋根的1变化到肋端的0.852。
d2?/d2??0.01?2?/5?5?1????2??0。数值计算结果示于
一维非稳态导热计算
4-15、一直径为1cm,长4cm的钢制圆柱形肋片，初始温度为25℃，其后，肋基温度突然升高到200℃，同时温度为25℃的气流横向掠过该肋片，肋端及两侧的表面传热系数均为
2W/(m.K)。试将该肋片等分成两段（见附图）100，并用有
限差分法显式格式计算从开始加热时刻起相邻4个时刻上的温度分布（以稳定性条件所允许的时间间隔计算依据）。已知?＝43W/(m.K)，a?1.333?10m/s。（提示：节点4的离散方程可按端面的对流散热与从节点3到节点4的导热相平衡这一条件列出）。
解：三个节点的离散方程为：
节点2：
?52??d2??tk?12?tk2?tk3?tk2??d2?tk1?tk2??d2?k???x????????????d?x?h?tf?t2???c??x/2?4??x?4?4??????
节点3：
??d2??tk?13?tk3?tk4?tk3??d2?tk2?tk3??d2?k???x????????????d?x?h?tf?t3???c??x/2?4??x?4?4??????节点4：
tk3?tk4??d2???d2?k??????h?t4?tf??x/2?4??4?。
以上三式可化简为：
?4h????3a??4h???k?a????a???tk?12?2?2?t1??2?t3??t???f?1??t22?x?x?cd?x?cd????????
?4h????3a??4h???k?a????a???tk?13??2?t2?2?2?t4??t???f?1??t32?x?cd? ??x???x???cd???2???xh?tk4?2?tk3??xhtf