3．用 MATLAB解极点配置问题
用 MATLAB易于解极点配置问题。现在我们来解在例8-11中讨论的同样问题。系统方程为
0??01?0????0?11?x??0?u x???????00?2???1??试设计状态反馈控制器，使闭环极点为?2,?1?j1。
如果在设计状态反馈控制矩阵K时采用变换矩阵T，则必须求特征方程sI?A?0的系数a2﹑a1和a0。这可通过给计算机输入语句P = poly(A)来实现。
为了得到变换矩阵T=MW，首先将矩阵M和W输入计算机，其中
ABA2B ?a1a21??? W?a210 ????100?? M?B然后可以很容易地采用MATLAB完成M和W相乘。
其次，求所期望的特征方程。可定义矩阵J，使得
??00???1?j1?0?
?1?j10 J????0?2??0?采用如下命令Q = poly(J)来完成。
所需状态反馈控制矩阵K可由
? K?a0?a0??a1?a1a2?a2T?1
或者 K??a0?aa0a1?aa1a2?aa2?*(inv(T))
??确定。
采用变换矩阵T解该例题的MATLAB程序如下所示。 % pole placement –using transformation matrix %
disp(‘pole placement –using transformation matrix’) a = [0 ,1 ,0 ; 0 ,–1 ,1 ; 0 ,0 ,–2 ]; b = [0 ,0 ,1 ];
cam = ctrb (a , b );
dis(‘The rank of controllability matrix’) rc = rank (cam ) P=poly(A)
a2=P(2) ; a1=P(3) ; a0=P(4); W=[a1, a2 ,1 ; a2 ,1, 0 ; 1 ,0 ,0 ]; T=can *W;
J=[-1+1*i ,0 ,0 ;0,–1-1*I ,0 ; 0, 0 ,–2 ]; Q=poly(J)
aa2=Q(2) ; aa1=Q(3) ; aa0=Q(4); K=[a0-aa0, a1-aa1, a2-aa2]*(inv(T))
另外，MATLAB还可进行状态观测器设计和李雅普诺夫稳定性分析，具体方法可参考有关参考书。
本章小结
现代控制理论是以状态空间方法为基础的，这是一种分析系统性能的时域方法，主要用状态空间表达式作为数学模型。与经典控制理论中的传递函数相比，它是一种对系统的完全
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描述。本章主要介绍了以下一些基本内容：
1．建立系统状态空间表达式的方法有好几种，本章主要介绍由系统传递函数来建立状态空间表达式的方法。对于同一系统，由于状态变量选择的非唯一性，使得由此而建立的状态空间表达式也是非唯一的。但由状态空间表达式导出的传递函数却是唯一的，而且这些状态矢量之间实际上存在着一种线性变换关系。线性变换矩阵若按某种规律来选取，可使变换后的状态空间表达式化为某种特殊形式，如约当标准型、能控标准型和能观标准型。由于线性变换不改变系统的能控性、能观性和稳定性，因此给系统研究带来方便。
2．为了研究系统的动态特性，需要了解系统运动情况，故在本章中介绍了如何求解线性定常系统状态方程的解。
3．在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要概念，如何判别系统能控性和能观性是本章介绍的内容之一。而两者之间的关系是有对偶原理确定的。
4．控制系统最重要的特性莫过于稳定性了，在本章中主要介绍了李雅普诺夫关于稳定性的几个定义及李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法是一种直接方法，它不需要求解系统方程的解，而是直接由李雅普诺夫函数及其导数的符号性质来判断。
5．在现代控制理论中，控制系统仍然采用反馈控制方法。由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。可以采用状态反馈进行极点的任意配置。但当系统状态不能直接检测或无法检测时，可以设计一个状态观测器，用观测器的输出代替实际状态进行状态反馈，从而使状态反馈成为一种可实现的控制规律。
习 题
8-1试求习题8-1图所示系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
习题8-1图 系统结构图
8-2 两输入u1,u2，两输出y1,y2的系统，其模拟结构图如习题8-2图所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
习题8-2图 双输入—双输出系统模拟结构图
8-3 系统的动态特性是由下列微分方程描述
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