第9章 弯曲应力与弯曲变形 - 图文

9.3.2其他形状截面的切应力其他形状截面梁的切应力,可近似地按矩形截面梁的切应力计算公式(9 -10)求得,且均在中性轴上切应力达到最大值。几种常用截面梁上的最大切应力值分别为工字形?max?maxFS?A4FS??3A(9 –13)圆形(9 –14)薄壁环形?maxFS?2A(9 –15)9.3.3切应力强度条件弯曲切应力的强度条件是?max≤???(9 –16)例9 –4图9 –9a所示简支梁长l,截面为矩形,尺寸如图,梁受均布载荷q作用。试求最大正应力与最大切应力之比。bq解:(1)画剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图如图9–9b,c所示。(2)求最大剪力与最大弯矩由剪力图与弯矩图得qlql2Fs,max?Mmax?82(3)最大正应力与切应力之比?max?max3FS,max33ql2?????2A2bh4bh2Mmax3ql??28?bhWz4bh26xhzl(a)qlql24bh即最大正应力与最大切应力之比等于梁的跨度与截面高度之比(即跨高比)。在一般细长的非薄壁截面梁中,弯曲正应力往往是决定梁强度的主要因素。2?maxl4bh??3ql?maxh3ql29.4 弯曲变形的概念工程实际中的受弯构件,除要求有足够的强度外,还必须具有足够的刚度。以变形前梁的轴线为x 轴,与轴线垂直的轴为w 轴,建坐标系,该坐标系如图9–10所示。在对称弯曲的情况下,梁的轴线弯曲成纵向对称面(x w面)内的一平面曲线,该曲线称为梁的挠曲线。梁的变形可用梁轴线上一点(即横截面的形心)的线位移和横截面的角位移表示。wθB′θwAxl梁轴线上任一点在垂直于x 轴方向的位移,即挠曲线上相应点的纵坐标,称为挠度,记以w。这样,挠曲线方程为xBFw?w?x?图9-10(9 –17)横截面对其原来位置绕中性轴的角位移,称为转角,记以θ。由图可见,横截面的转角即为挠曲线在该点的切线与x 轴的夹角。在工程中转角(以弧度计)是很小的量,因此dw?x???x??tan??x??dx(9 –18)上式表明,横截面的转角等于挠曲线在该截面处切线的斜率。在图示坐标系中,向上的挠度为正,反之为负;逆时针转向的转角为正,反之为负。9.5 梁的挠曲线近似微分方程在讨论梁纯弯曲时曾得到以曲率半径ρ表示的弯曲变形公式(式(9-1))M??EI1①在横力弯曲的情况下,忽略剪力对弯曲变形的影响,上式仍将成立。此时弯矩M和曲率半径ρ都是x的函数。故上式可写为M?x?1???x?EI(a)由数学知,平面曲线上任一点的曲率为1??32??x???dw??2?1???????dx???d2wdx2?dw?在小变形条件下,??与1相比为高阶微量,可忽略不计,故得近似式?dx?21d2w??2??x?dx(b)①有时将惯性矩IZ简写为I。

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