第 九 章 表面现象
lnp2?M?p0RT?R'?
lnp2?0.07214?0.018??0.526 ?933167Pa8.314?298?2?10?0.997?10p?5357Pa
9. 在 298 K时, 在水中有一个半径为0.9nm 的蒸汽泡, 求泡内的蒸气压。已知298 K 时，水的饱和蒸气压为3167 Pa ，水的摩尔质量为 0.018 kg·mol-1，密度为 997 kg·m-3, ?0 = 0.07214J·m-2。
解：利用Kelvin 公式，计算298 K 时，半径为 9×10-10 m 的蒸气泡内的蒸气压。因为蒸气泡内壁是凹面，曲率半径取负值，
lnp2?M?p0RT?R'?
lnp2?0.07214?0.018???1.1682
3167Pa8.314?298?(?9?10?10)?997
p = 984.7
从计算可知，小蒸气泡内的蒸气压远小于水平面上的饱和蒸气压。
10. 一根毛细管插在某液体中, 毛细管内液体上升 1.5×10-2 m 。如果把这根毛细管插入表面张力为原液体表面张力的一半、密度也为原液体密度一半的另一液体中, 则毛细管内液面上升多高? 假若该毛细管在上述两种液体的接触角? 均为零。
解： 根据附加压力的计算公式：
h1?2?12?2 h?2?1gR'?2gR'
两式相比：
h1?1?12?22?2?==1 h2?h1?1.5?10?2 m h2?2?2?2?2毛细管内液面上升的高度相同。
11. 一个用透气多孔耐火砖制成的盛钢液的容器，如果要在该容器中盛钢液的高度为2 m，底部透气多孔砖的毛细孔半径应控制为多少，才能使钢液不漏? 已知钢液的 ? =1.3 N·m-1 ， ? =7000 kg·m-3 ，钢液对耐火材料的接触角? =150°。
解：钢液对耐火材料的接触角大于90°，说明钢液不能润湿耐火砖，钢液在毛细孔内呈凸面。当多孔砖的毛细孔内，钢液的附加压力小于钢液的静压力时，钢液就不会渗漏。
第 九 章 表面现象
钢液的附加压力为：
ps?2?co?sR 钢液的静压力为：
?gh
2?cos????1.64?10?5m ?3?2?gh7000kg?m?9.8m?s?2m即：
?5 R<1.6?410m
当多孔砖的毛细孔半径小于1.64×10-5 m ，钢液就不会漏出。
12. 已知在300K时纯水的饱和蒸汽压ps=3.529kPa，密度ρ=997 kg·m-3，表面张力? =0.0718 N·m-1。在该温度下：
（1）将半径 r1= 5.0×10-4m的洁净玻璃毛细管插入纯水中，管内液面上升的高度为h=2.8m，，试计算
水与玻璃之间的接触角；
（2）若玻璃毛细管的半径为r2= 2nm，求水蒸气在该毛细管中发生凝聚的最低压力。
解：（1）由于水能润湿毛细管，水在毛细管内呈弯月面，附加压力使水在毛细管内上升。最终达到平衡：
ps?2?水cos????gh?(?水??g)gh??水gh
R
?水ghR997 kg?m?3?9.8m?s?2?0.028m?5.0?10-4mcos??==0.9526
2?水2?0.0718N?m?1θ =17.7?
（2）利用Kelvin 公式，计算300 K 时，半径为 2.0 nm 的水滴面上的饱和蒸气压
lnpr2?M? p0RT?R'?
pr2?0.0718?0.018?Cos17.7?ln??-0.495
?93.529kPa8.314?300??-2?10??997p?2.151kPa
与浓度呈线性关系：? = ?0- ba， 其中?0 为纯水的表面张力，b
13. 假设稀油酸钠水溶液的表面张力 ?为常数，a是溶质油酸钠的活度。已知 298 K 时，?0= 0.07214 N·m-1，测得该溶液表面吸附油酸钠的吸附超量 ?2= 4.33×10-6 mol·m-2，试计算该溶液的表面张力?。 解： 根据Gibbs 吸附公式
?2???RTad?d? ??2RTdadaa
第 九 章 表面现象
根据已知条件， 代入表面张力
?RTd???b 则 b?2daa
与浓度的线性关系式：
???0?ba
???0??2RT?(0.072?4.33?10?6?8.314?298)N?m?1?0.061 N?m?1
14. 在293K时，苯酚水溶液的质量摩尔浓度分别为0.05mol·kg-1和0.127 mol·kg-1，其对应的表面张力分别为0.0677 N·m-1和0.0601 N·m-1。请计算浓度区间分别为0～0.05mol·kg-1和0.05～0.127 mol·kg-1的平均表面超额?2。已知水在该温度下的表面张力? =0.0729 N·m-1，设苯酚水溶液的活度因子都等于1，活度与浓度的数值相同。
解：因为是稀溶液，设活度因子为1，表面张力随浓度的增加而线性下降，Gibbs 吸附公式可表示为：
0.05mol?kg?1：?2??c2d?c?? =?2 RTdc2RT?c
0.05mol?kg?1(0.0677-0.0729)N?m?1???=2.134?10?6mol?m?2 ?1?18.314J?mol?K?293K0.05mol?kg同理可求：0.127mol?kg?1：?2??c2d?c?? =?2
RTdc2RT?c0.127mol?kg?1(0.0677-0.0601)N?m?1???=5.146?10?6mol?m?2 ?1?18.314J?mol?K?293K?0.05-0.127?mol?kg则：0～0.05mol·kg-1的平均表面超额?2（1）为：
?2.134?10?6+0?mol?m?2 2=1.067?10?6mol?m?2
同理可求：0.05～0.127 mol·kg-1的平均表面超额?2（2）为：
?2.134?10?6+5.146?10?6?mol?m?2 2=3.64?10?6mol?m?2
15. 在298K时，某表面活性剂B的稀水溶液，在浓度cB<0.050mol·dm-3的范围内，其表面张力随浓度的增加而线性下降符合如下公式：
?/?N?m?1??0.07214?0.350?cB/c（1）导出表面超额? B与浓度的关系式； （2）计算cB=0.010mol·dm-3时的表面超额? B。 解：（1）根据Gibbs 吸附公式
?
第 九 章 表面现象
?B???RTcd?d? ??BRTdcdcc
d???0.350/c da0.350cB即： ?B?
RTc0.350c0.350?0.010（2）因为?B? ==1.413?10-6mol?m?2
RTc8.314?298?1根据已知条件，
16. 已知 293 K 时，水-空气的表面张力为 0.07288N·m-1，汞-水间的表面张力为0.375 N·m-1，汞-空气的表面张力为 0.4865 N·m-1。判断水能否在汞的表面上铺展开来。
解：能铺展，因为汞-空气的表面张力远大于水-空气的表面张力，水在汞的表面上铺展以后，使整个系统的Gibbs 自由能下降，所以水在汞的表面上铺展是自发过程。
?汞?空气>?汞?水??水?空气
17. 今有 2000 m2的池塘，为了防止水分蒸发，将摩尔质量为0.30 kg·mol-1，密度是900 kg·m-3的脂肪酸放入池中, 使整个水池表面恰好形成一层紧密的单分子膜。问需此物质多少体积？已知此分子碳氢链的截面积为 0.22 nm2。
解：脂肪酸分子在水面上是定向排列的，覆盖 2000 m2水面所需脂肪酸分子数为：
2000m2N??9.1?1021 ?1820.22?10mNnMNM V?? L?L?
n?9.1?1021?0.3 kg?mol?1?63?5.0?10m V?23?1?36.02?10mol?900kg?m所需该脂肪酸的体积为5.0×10-6m3，即5.0cm3。
18. 273K时，用实验测定气体A在不同分压在固体B上的吸附量V（单位m3）然后以p/V对p作图，的
6.0?103一直线。册的直线的斜率k?3m?kg?1附系数a。
解：根据Langmuir吸附等温式?=1.2?109，截距M?Pa-1?m3?kg?1。试计算气体A在固体B上的吸
Vapp1p=，即有：??Vm1?apVaVmVm
1/Vmk6.0?103Pa-1?m3?kg?1?6-1则：a? ???5.0?10Pa93?11/aVmM1.2?10m?kg