2019年辽宁省锦州市中考数学试卷

∵m为整数, ∴m的最大值为16.

答:最多可购买A型设备16套.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.

五、解答题(本大题共2道题,每题8分,共16分)

21.(8分)如图,某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m,看台所在斜坡CM的坡比i=1:3,在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°,在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°,且B,M,D三点在同一水平线上,求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:

≈1.41,

=1.73)

【分析】过点C作CE⊥AB于点E,设BM=x,根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解:过点C作CE⊥AB于点E, ∵CD=2,tan∠CMD=, ∴MD=6, 设BM=x, ∴BD=x+6, ∵∠AMB=60°, ∴∠BAM=30°, ∴AB=

x,

已知四边形CDBE是矩形, ∴BE=CD=2,CE=BD=x+6,

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∴AE=x﹣2,

在Rt△ACE中, ∵tan30°=∴

, , ,

≈8.2m

解得:x=3+∴AB=

x=3+3

【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质,本题属于中等题型.

22.(8分)如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F. (1)求证:MF是⊙O的切线; (2)若CN=3,BN=4,求CM的长.

,弦MN交AB于点C,

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF,得出OM∥BF,即可证得OM⊥MF,即可证得结论;

(2)由勾股定理可求AB的长,可得AO,BO,ON的长,由勾股定理可求CO的长,通过证明△ACN∽△MCB,可得【解答】证明:(1)连接OM,

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,即可求CM的长.

∵OM=OB, ∴∠OMB=∠OBM, ∵BM平分∠ABD, ∴∠OBM=∠MBF, ∴∠OMB=∠MBF, ∴OM∥BF, ∵MF⊥BD,

∴OM⊥MF,即∠OMF=90°,∴MF是⊙O的切线; (2)如图,连接AN,ON

∴AN=BN=4 ∵AB是直径,

∴∠ANB=90°,ON⊥AB ∴AB=

=4

∴AO=BO=ON=2

∴OC==

=1∴AC=2

+1,BC=2

﹣1

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∵∠A=∠NMB,∠ANC=∠MBC ∴△ACN∽△MCB ∴

∴AC?BC=CM?CN ∴7=3?CM ∴CM=

【点评】本题考查了切线的性质,圆的有关知识,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,求OC的长是本题的关键. 六、解答题(本大题共10分)

23.(10分)2019年在法国举办的女足世界杯,为人们奉献了一场足球盛宴.某商场销售一批足球文化衫,已知该文化衫的进价为每件40元,当售价为每件60元时,每个月可售出100件.根据市场行情,现决定涨价销售,调查表明,每件商品的售价每上涨1元,每个月会少售出2件,设每件商品的售价为x元,每个月的销量为y件. (1)求y与x之间的函数关系式;

(2)当每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好为2250元;

(3)当每件商品的售价定为多少元时,每个月获得利润最大?最大月利润为多少? 【分析】(1)根据月销量等于涨价前的月销量,减去涨价(x﹣60)与涨价1元每月少售出的件数2的乘积,化简可得;

(2)月销售量乘以每件的利润等于利润2250,解方程即可;

(3)根据题意列出二次函数解析式,由顶点式,可知何时取得最大值及最大值是多少. 【解答】解:(1)由题意得,月销售量y=100﹣2(x﹣60)=220﹣2x (60≤x≤110,且x为正整数)

答:y与x之间的函数关系式为y=220﹣2x. (2)由题意得:(220﹣2x)(x﹣40)=2250 化简得:x2﹣150x+5525=0 解得x1=65,x2=85

答:当每件商品的售价定为65元或85元时,每个月的利润恰好为2250元.

(3)设每个月获得利润w元,由(2)知w=(220﹣2x)(x﹣40)=﹣2x2+300x﹣8800 ∴w=﹣2(x﹣75)2+2450

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