1
∴直线P1C的解析式为y＝－x＋3，
3
y＝－x＋2x＋3，??
联立方程组?1
y＝－x＋3，?3?
7
x＝，??3或?20
y＝??9，
2
解得?
?x＝0，?
??y＝3，
720
则此时点P的坐标为(，)；
39
1
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为y＝－x＋d，
311
把A(－1,0)代入，得＋d＝0，解得d＝－，
3311
∴直线P2A的解析式为y＝－x－，
33
y＝－x＋2x＋3，??
联立方程组?11
y＝－x－，?33?
1013
(，－)． 39
2
??x＝－1，
解得?
?y＝0，?
10
x＝，??3或?13
y＝－，??9
则此时点P的坐标为
7201013
综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．
3939
第2题答图
3．(2018·南宁一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与坐标轴分别交于A, B两点，12
过点B作BD∥x轴，抛物线y＝－x＋bx＋c经过B, D两点，且对称轴为直线x＝2，设x轴上一动点
2
P (n, 0)，过点P分别作直线BD, AB的垂线，垂足分别为M, N.
第3题图
(1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标：
(2)设四边形ABCD的面积为S四边形BACD，当n为何值时，
1＝；
S四边形ABCD4
S△PMN(3)是否存在点P (n, 0)，使得△PMN为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (1)∵直线y＝－x＋2与坐标轴分别交于A, B两点， ∴令x＝0，得y＝2，即B (0, 2)；令y＝0，得x＝2， 即A (2, 0)．
12
∵抛物线y＝－x＋bx＋c经过点B (0, 2)，
2∴c＝2.
又∵对称轴为直线x＝2， ∴－＝－2a2解得b＝2.
12
∴抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋2.
212
当x＝2时， y＝－×2＋2×2＋2＝4，
2∴顶点C (2, 4)．
(2)如答图，连接AC.∵BD∥x轴，抛物线的对称轴为直线x＝2，∴AC⊥BD，
第3题答图
1
∴四边形ABCD的面积S四边形ABCD＝×4×4＝8，
2∵
1
＝，∴S△PMN＝2.
S四边形ABCD4
bb12
＝2.
S△PMN过点N作NH⊥x轴，垂足为H. 又∵点N在直线y＝－x＋2上，
1
∴∠NPH＝45°且S△PMN＝PH·PM.
2∵BD∥x轴，∴PM＝2. ①当点P在点A的右侧时， 2＋2PH＝n，即PH＝
n－2
2
，
11n－2
∴S△PMN＝PH·PM＝××2＝2，
222解得n＝6.
②当点P在点A的左侧时， 2－n2－2PH＝n，即PH＝，
2
1112－n∴S△PMN＝ PH·PM＝×××2＝2，
2222解得n＝－2.
综上，当n＝6或n＝－2时，
1
＝.
S四边形ABCD4
S△PMN(3)存在三种情况，使得△PMN为等腰三角形．
①过点N作NH⊥x轴于点H，当PM＝PN时，PN＝PM＝2，
PH＝2，这时n＝2±22，
∴P(2＋22，0)或(2－22，0)； ②当MN＝PN时， ∵MN⊥PN，
∴△PMN为等腰直角三角形，且PM＝2， ∴PN＝2， ∴P(0,0)；
③当PM＝MN时，MN＝PM＝2. 又∵MN⊥PM，
∴△PMN为等腰直角三角形，
∴MB＝2， ∴P(－2,0)．
综上，当△PMN为等腰三角形时，点P的坐标为 (2＋22，0)或(2－22，0)或(0,0)或(－2,0)．
类型4 探究特殊四边形的存在性
1．(2018·百色)抛物线y＝ax＋bx的顶点M(3，3)关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E.
(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；
(2)当0 第1题图 解：(1)对于抛物线y＝ax＋bx，当x＝0时，y＝0，即抛物线经过坐标原点O(0,0)． ∵顶点 M(3，3)，点A为抛物线与x轴的另一个交点，∴A(23，0)． 将点A(23，0)，M(3，3)分别代入y＝ax＋bx中，得 2 2 2 ?12a＋23b＝0，? ?3a＋3b＝3， ?a＝－1，解得? ?b＝23， 2 ∴抛物线的解析式为y＝－x＋23x. (2)存在， 设P(m，－m＋23m)，则E(m,0)，其中0 ∵点M(3，3)关于x轴的对称点为B， 22