第3讲 平面向量与复数
平面向量的概念与线性运算
[核心提炼]
1．在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化；
2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量．
[典型例题]
(1)(2019·杭州模拟)如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D→→→
是半圆弧的两个三等分点,AB＝a,AC＝b,则AD＝( )
1
A．a－b
21C．a＋b
2
1
B．a－b
21
D．a＋b
2
(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,点PS△PAB→1→→→
满足OP＝(OA＋OB＋2OC),则为( )
4S△OAB3A． 2C．2
2B．
31D．
2
→3→
(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中,点D满足BD＝BC,当点E在射线AD(不含点A)上移
4→→→22
动时,若AE＝λAB＋μAC,则(λ＋1)＋μ的取值范围为________．
→1→1
【解析】 (1)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD＝AB＝a,
221→→→
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
2
→1→→
(2)如图,延长CO,交AB中点D,O是△ABC的重心,则OP＝(OA＋OB＋
4→1→→1→→1→2OC)＝(2OD＋2OC)＝(－OC＋2OC)＝OC,
444
1121
所以OP＝OC＝×CD＝CD；
4436
1111
所以DP＝DO＋OP＝CD＋CD＝CD,DO＝CD；
36231CDS△PABDP23所以＝＝＝.
S△OABDO12
CD3
→→→3→
(3)因为点E在射线AD(不含点A)上,设AE＝kAD(k>0),又BD＝BC,
4
→→→所以AE＝k(AB＋BD)＝
?→3→→?k→3k→k?AB＋（AC－AB）?＝AB＋AC, ?
4
?4
4
kλ＝??4k?295?2?29?所以?,(λ＋1)＋μ＝?＋1?＋k＝?k＋?＋>1,故(λ＋1)＋μ5?8?10?4?163k??μ＝4
2
2
2
2
2
的取值
范围为(1,＋∞)．
【答案】 (1)D (2)A (3)(1,＋∞)
平面向量的线性运算技巧
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系．
[对点训练]
→→→1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点,N为AM的中点,若AN＝λAB＋μAC,则λ＋μ的值为( )
11A. B. 43
1
C. D.1 2
→→
解析：选C.因为M在BC边上,所以存在实数t∈[0,1]使得BM＝tBC. →→→→→→→→→→AM＝AB＋BM＝AB＋tBC＝AB＋t(AC－AB)＝(1－t)AB＋tAC, 因为N为AM的中点, →1→1－t→t→所以AN＝AM＝AB＋AC,
222
1－tt1－tt1
所以λ＝,μ＝,所以λ＋μ＝＋＝,故C正确．
22222
26
2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中,BC＝7,AC＝6,cos C＝.若动点
7
P满足AP＝(1－λ)AB＋
为( )
A．5 C．26
→
→2λ→
AC,(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积3
B．10 D．46
→2→
解析：选A.设AD＝AC,
3
→→2λ→→→因为AP＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)AB＋λAD,
3所以B,D,P三点共线． 所以P点轨迹为直线BC.
26
在△ABC中,BC＝7,AC＝6,cos C＝,
75
所以sin C＝,
7
15
所以S△ABC＝×7×6×＝15,
271
所以S△BCD＝S△ABC＝5.
3
3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1→→→→→→
时,|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________,最大值是________．
解析：以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建→
立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),所以λ1AB＋
λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6,λ2－λ4＋λ5
??λ1－λ3＋λ5－λ6＝0
＋λ6),所以当?时,可取λ1＝λ3＝1,λ5＝λ6＝1,λ2＝－1,λ4＝1,此时
?λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0?
→→→→→
→→→→→→
|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1,λ3＝－1,λ5＝λ6＝1,
λ2＝1,λ4＝－1,则|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最大值22＋42＝25.
答案：0 25
平面向量的数量积 [核心提炼]
→→→→→→
1．平面向量的数量积的两种运算形式
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a,b的夹角)； (2)坐标运算：a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)时,a·b＝x1x2＋y1y2. 2．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x,y),则|a|＝a·a＝x＋y. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 →22|AB|＝（x2－x1）＋（y2－y1）.
2
2
a·bx1x2＋y1y2
(3)若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ＝＝2. 22
|a||b|x1＋y1x22＋y2
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量．若非零向量a与eπ2的夹角为,向量b满足b－4e·b＋3＝0,则|a－b|的最小值是( )
3
A．3－1 C．2
B．3＋1 D．2－3
(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a,b,c满足|a|＝1,|b|＝k,|c|＝2－k且a＋b＋c＝0,则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．
→→2【解析】 (1)设O为坐标原点,a＝OA,b＝OB＝(x,y),e＝(1,0),由b－4e·b＋3＝0得
x2＋y2－4x＋3＝0,即(x－2)2＋y2＝1,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆．因为a与e的夹角为,所以不妨令点A在射线y＝3x(x>0)上,如图,数形结合可知
→→
|a－b|min＝|CA|－|CB|＝3－1.故选A.
π3
(2)设b与c的夹角为θ,由题b＋c＝－a, 所以b＋c＋2b·c＝1.
2k－4k＋33
即cos θ＝＝1＋. 22
2k－4k2（k－1）－2因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|,所以|2k－2|≤1.
2
22