16-20 CBDDB 21-26BACBCA
20π?827．22 28.3 29. 30.24 31.16??16 32．12 33.?
3334．解：(1)由该四面体的三视图可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， ∴AD⊥平面BDC，
112
∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.
323
(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩ 平面ABC
＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形． 2.2答案
1-5CCCAB 6-9 CBCC 10.16? 11.1:24 12.12? 13.7 14.4
15．解：(1)证明：由已知得△ABC≌△DBC， 因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD，
同理BG⊥AD.又BG∩CG＝G，所以AD⊥平面BGC. 又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O. 由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以
11131
V三棱锥D -＝V＝·S·h＝×·BD·BC·sin 120°·＝. 三棱锥△BCGG -BCDDBC
33222
16．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，
ππ
则AO⊥OB.因为∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.
36
π1
又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM
23
1?2π312?＝1＋?2?－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
234
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.
π(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝3.
6
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
3
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2
4
2
2π211222?1?＝AB＋BM－2AB·BM·cos∠ABM＝2＋?2?－2×2××cos＝. 234
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
321
PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，
44
333解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝. 222
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB 11
＝·AO·OB＋·BM·OM 221113＝×3×1＋×× 22225 3＝.
8
115 335
所以四棱锥P-ABMO的体积V四棱锥P-ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝. 338216
17.【答案】[解]因为CC1 AA1.
所以?BC1C为异面直线BC1与AA1.所成的角,即?BC1C=在Rt?BC1C中,BC?CC1?tan?BC1C?6??. 63?23, 3从而S?ABC?3BC2?33, 4因此该三棱柱的体积为V?S?ABC?AA1?33?6?183.
18．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，
ππ
则AO⊥OB.因为∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.
36
π1
又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM
23
1?2π312?＝1＋?2?－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
234
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.
π
(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝3.
6
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
3
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2
4
21?2π211
＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋?－2×2××cos＝. ?2?234
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
321
PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，
44
333
解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝. 222
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB 11
＝·AO·OB＋·BM·OM 221113＝×3×1＋×× 22225 3＝.
8
115 335
所以四棱锥P-ABMO的体积V四棱锥P-×＝. ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝×338216
19．解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB?平面ABD，BD?平面ABD， ∴CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD，
得AB⊥BD.
1
∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝.
2∵M是AD的中点， 11
∴S△ABM＝S△ABD＝. 24
由(1)知，CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C - ABM的高h＝CD＝1，
因此三棱锥A - MBC的体积 11
VA -. MBC＝VC - ABM＝S△ABM·h＝312
方法二：(1)同方法一．
(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD. 且平面ABD∩平面BCD＝BD.
如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N， 11
则MN⊥平面BCD，且MN＝AB＝.
221
又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝.
2∴三棱锥A - MBC的体积
VA - MBC＝VA - BCD－VM - BCD 11
＝AB·S△BCD－MN·S△BCD 331＝. 12
20．解：(1)证明：由AA1⊥BC知BB1⊥BC.又BB1⊥A1B，故BB1⊥平面BCA1，所以BB1
⊥A1C.
又BB1∥CC1，所以A1C⊥CC1. (2)方法一：设AA1＝x.
22在Rt△A1BB1中，A1B＝A1B1－BB21＝4－x.
22同理，A1C＝A1C21－CC1＝3－x. 在△A1BC中，
A1B2＋A1C2－BC2
cos∠BA1C＝＝
2A1B·A1Cx2
－，
（4－x2）（3－x2）
sin∠BA1C＝
12－7x2，
（4－x2）（3－x2）
12－7x21
所以S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝. 22
x12－7x2从而三棱柱ABC - A1B1C1的体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝. 2因为x12－7x2＝12x2－7x4＝
6?2362?－7?x－7?＋，
76424237
所以当x＝＝，即AA1＝时，体积V取到最大值.
7777
(2)方法二：过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.
由AA1⊥BC，A1D⊥BC，得BC⊥平面AA1D，故BC⊥AD.又∠BAC＝90°，
11221
所以S△ABC＝AD·BC＝AB·AC，得AD＝.
227