2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550. 当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1, 当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,

当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3, 当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,

当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15, 当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05. 故Y的概率分布列为:

Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量Y的数学期望

EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.

【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.(12分)(2017?深圳一模)已成椭圆C:为

.其右顶点与上顶点的距离为

+

=1(a>b>0)的离心率

,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交

于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QM⊥AB时,求直线l的方程.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】(1)椭圆的离心率为组,求出a=

,b=

.其右顶点与上顶点的距离为

,列出方程

,由此能求出椭圆C的方程.

(2)若直线l的斜率不存在,直线方程为x=0;若直线l的斜率存在,设其方程

,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由此利用根

为y=kx+2,与椭圆方程联立

的判别式、韦达定理、直线垂直,结合已知条件能求出直线l的方程. 【解答】解:(1)∵椭圆C:其右顶点与上顶点的距离为

+

=1(a>b>0)的离心率为

∴由题意知:,解得a=,b=,

∴椭圆C的方程为:.

(2)①若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QM⊥AB,∴方程为x=0;

②若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程与椭圆方程联立

,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,

△=72k2﹣48>0,设M(x0,y0),则由QM⊥AB,知

, ,

,化简得3k2+5k+2=0,

解得k=﹣1或k=﹣,将结果代入△=72k2﹣48>0验证,舍掉k=﹣, 此时,直线l的方程为x+y﹣2=0,

综上所述,直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0.

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要

认真审题,注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用.

21.(12分)(2017?深圳一模)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g(x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数. (1)讨论g(x)的单调性;

(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;

(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由. 【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.

【分析】(1)求导,由导数与函数单调性的关系,即可求得g(x)的单调区间;

(2)由g(e﹣a)=﹣a2+ea,构造函数h(x)=﹣x2+ex,求导,当x>e时,h′(x)>0,函数单调递增,即可求得h(x)=﹣x2+ex>﹣e2+ee>0,

(3)由(1)可知,函数最小值为g()=0,故g(x)恰有两个零点x1,x2,则可判断x1,x2是函数的极大值和极小值,由函数零点的存在定理,求得函数f(x)只有一个零点.

【解答】解:(1)对函数f(x),求导得g(x)=f′(x)=alnx+, g′(x)=﹣

=

①当a≤0时,g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数;

②当a>0时,′(x)>0,可得x>,故g(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞);

(2)证明:g(e﹣a)=﹣a2+ea,设h(x)=﹣x2+ex,则h′(x)=ex﹣2x, 易知当x>e时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增, h(x)=﹣x2+ex>﹣e2+ee>0, ∴g(e﹣a)>0;

(3)由(1)可知,当a>e时,g(x)是先减再增的函数, 其最小值为g()=aln+a=a(ln+1)<0, 而此时g(点x1,x2,

∵当x∈(0,x1)时,f′(x)=g(x)>0; 当x∈(x1,x2)时,f′(x)=g(x)<0; 当x∈(x2,+∞)时, f′(x)=g(x)>0,

∴f(x)在x1,x2两点分别取到极大值和极小值,且x1∈(0,),

)=1+

,g(e﹣a)>0,且e﹣a<<

,故g(x)恰有两个零

由g(x1)=alnx1+

=0,知a=﹣, +2,

=﹣2时,lnx1=,则a=e,不合

∴f(x1)=(ax1+1)lnx1﹣ax1+3=lnx1+∵lnx1<0,∴lnx1+题意,

≤﹣2,但当lnx1+

所以f(x1)<0,故函数f(x)的图象与x轴不可能有两个交点. ∴函数f(x)只有一个零点.

【点评】本题考查导数的综合应用,考查导数与函数的单调性及及的关系,考查函数零点的判断,考查计算能力,属于中档题.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)(2017?深圳一模)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为

(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系.

(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;

B两点,(2)若直线l与曲线E相交于点A、且OA⊥OB,求证:为定值,并求出这个定值.

【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

【分析】(1)曲线E的参数方程消去参数,能求出曲线E的普通方程,进而能求出曲线E的极坐标方程.

(2)不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(

),从而 +

得到,由此能证明(定值).

【解答】解:(1)∵曲线E的参数方程为∴消去参数得曲线E的普通方程为

(α为参数),

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